Divisibilité et nombres premiers : abécédaire (3e)

Pièce de verre d’une lampe qui produit la lumière ; celle d’un clignotant s’allume par exemple toutes les 153 s.

Deux ampoules qui s’allument toutes les 153 s et 187 s sont à nouveau allumées ensemble après 1 683 s, soit 28 min 3 s.

Nombre a de l’écriture aⁿ : c’est le facteur répété dans le produit.

Dans 360 = 2³ × 3² × 5, les bases sont 2, 3 et 5 : le 2 est répété trois fois, le 3 deux fois, et le 5 une seule fois, sans exposant écrit.

Règle qui permet de savoir si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10, sans poser la division.

Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 : 348 = 2 × 174. Pour 3, on additionne les chiffres : 3 + 8 + 7 = 18, et 387 = 3 × 129.

Écriture d’un entier sous forme de produit de nombres dont les seuls diviseurs sont 1 et eux-mêmes : 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

Pour 84, on divise par 2, puis encore par 2, puis par 3, ce qui donne 7 : 84 = 2 × 2 × 3 × 7. Cette écriture est unique, à l’ordre des facteurs près.

Mécanisme formé de roues dentées qui restent en contact : deux de ces roues reviennent à leur position de départ après un certain nombre de dents passées.

Des roues de 30 et 45 dents reviennent à leur position de départ après 90 dents passées : 30 × 3 = 90 et 45 × 2 = 90.

Écriture a/b dont le numérateur et le dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que 1 ; par exemple 7/12.

31/555 est irréductible : 31 est premier et ne divise pas 555 = 3 × 5 × 37.

Entier naturel qui n’est pas pair, comme 15 : son chiffre des unités est 1, 3, 5, 7 ou 9.

15 est impair : son chiffre des unités, 5, n’est pas 0, 2, 4, 6 ou 8. La somme de deux nombres impairs est un nombre pair : 3 + 5 = 8.

Nombre de la forme n × k, où n est un entier donné et k un entier.

36 est un multiple de 4, car 36 = 4 × 9. Un nombre pair est aussi un multiple de 2 : 14 = 2 × 7.

Entier naturel qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

13 n’a que 1 et 13 pour diviseurs. Le seul nombre premier pair est 2 ; 4 n’est pas premier, car 4 = 2 × 2, et 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur.

Nombre qu’on atteint le plus tôt à la fois en comptant de 30 en 30 et de 45 en 45.

Pour 153 s et 187 s : 153 = 3² × 17 et 187 = 11 × 17. On garde chaque facteur premier avec sa plus grande puissance : 3² × 11 × 17 = 1 683 s, soit 28 min 3 s.

Dans une division euclidienne a = b × q + r, nombre entier noté q.

Dans 47 = 5 × 9 + 2, le quotient est 9, car 5 × 9 = 45 et 45 + 2 = 47.

Dans une division euclidienne a = b × q + r, nombre entier noté r, tel que 0 ≤ r < b.

Dans 47 = 5 × 9 + 2, le reste est 2. Un entier est divisible par un autre si le reste de la division est nul : 84 = 7 × 12, donc le reste de 84 ÷ 7 est 0.

Opération qui consiste à diviser le numérateur et le dénominateur d’une écriture a/b par un même diviseur commun non nul, sans en changer la valeur.

Pour 18/24, 6 divise 18 et 24 : 18 = 6 × 3 et 24 = 6 × 4, d’où 18/24 = 3/4.

Rotation complète d’une roue dentée, pendant laquelle toutes ses dents sont passées une fois.

Pour 90 dents passées, la roue de 30 dents fait 90 ÷ 30 = 3 tours, et celle de 45 dents fait 90 ÷ 45 = 2 tours.

Entier naturel non nul n de l’écriture aⁿ : il indique combien de facteurs égaux à a on multiplie entre eux.

Dans 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, l’exposant 3 indique que le 2 est multiplié trois fois.