Géométrie plane : démontrer : abécédaire (3e)

Figure obtenue à partir d’une autre en multipliant toutes ses longueurs par un rapport k supérieur à 1.

Un triangle de côtés 3, 4 et 5 agrandi avec k = 2 a pour côtés 6, 8 et 10 ; ses aires, elles, sont multipliées par k², soit 4.

Rapport entre le côté adjacent à un angle aigu et l’hypoténuse, dans un triangle rectangle.

Dans un triangle ABC rectangle en A avec AB = 4 et BC = 5, le côté adjacent à B est AB et l’hypoténuse est BC : cos B = 4/5 = 0,8.

Raisonnement organisé en étapes justifiées qui établit qu’une propriété est vraie.

Pour utiliser les rapports de longueurs d’une configuration papillon, il faut d’abord justifier que les deux droites concernées sont parallèles.

Bande dans laquelle une même figure est reproduite régulièrement par translation.

Chaque répétition est une translation : la figure glisse le long de la bande, sans être tournée.

Longueur ou mesure d’angle qu’on calcule dans une figure, comme la longueur DE dans une configuration papillon.

Avec AB = 2, AD = 5 et BC = 3, on obtient DE = BC × AD / AB = 3 × 5 / 2 = 7,5.

Transformation de centre O et de rapport k non nul, qui multiplie toutes les longueurs d’une figure par k si k est positif, par −k si k est négatif.

Par l’homothétie de centre O et de rapport 3, un point situé à 2 de O est envoyé à 6, du même côté ; avec le rapport −0,5, un point à 4 de O est envoyé à 2, de l’autre côté.

Point noté M′ obtenu à partir d’un point M par une transformation.

Par l’homothétie de centre O et de rapport 3, le point M situé à 2 de O a pour image M′ : OM′ = 6, donc M′ est à 6 du centre O.

Quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur ; ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

Pour démontrer qu’un quadrilatère est un losange, on peut montrer que c’est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur, ou que ses quatre côtés sont égaux.

Figure élémentaire qui, répétée régulièrement, forme une bande, un recouvrement du plan ou une rosace.

Dans une bande, le motif est reproduit régulièrement par translation : chaque répétition le déplace sans le tourner.

Recouvrement du plan par des figures identiques, sans trou ni chevauchement.

Une bande ne couvre qu’une partie du plan ; un pavage, lui, couvre tout le plan.

Transformation de centre fixe O et d’angle donné, qui conserve les longueurs d’une figure.

Six rotations successives de 60° de même centre ramènent la figure à sa position de départ, car 6 × 60° = 360°.

Rapport entre le côté opposé à un angle aigu et l’hypoténuse, dans un triangle rectangle.

Dans un triangle ABC rectangle en A avec AC = 3 et BC = 5, le côté opposé à B est AC et l’hypoténuse est BC : sin B = 3/5 = 0,6.

Égalité entre des rapports de longueurs dans une configuration papillon, lorsque deux droites sont parallèles.

Avec (BC) // (DE), on a AB/AD = AC/AE = BC/DE : ces rapports sont égaux, ce qui permet de calculer une longueur inconnue.

Propriété qui dit que, si deux fractions a/b et c/d sont égales, alors a × d = b × c.

Par exemple, 3/4 = 6/8 car 3 × 8 = 4 × 6 = 24.

Transformation qui envoie chaque point de l’autre côté d’un point fixe O, à la même distance de O.

C’est l’homothétie de centre O et de rapport −1 : les longueurs et les aires sont conservées, mais la figure est retournée, comme après un demi-tour autour de O.