Médiatrice : propriété et calculs (6e)

Chaque élément de gauche avec son partenaire.

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   J · M sur la médiatrice de [AB], MA = 4,5 cm ; N milieu de [MB] : distance NB ? : 2,25 centimètres

   $MB = MA = 4{,}5$ cm, car $M$ est sur la médiatrice. Comme $N$ est le milieu de $[MB]$, $NB = \frac{4{,}5}{2} = 2{,}25$ cm.

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   I · Avec $S$ sur la médiatrice de $[XY]$, $SX = \frac{7}{4}$ cm : que vaut $SY$ ? : 1,75 centimètres

   $\frac{7}{4} = 1{,}75$. Comme $S$ est sur la médiatrice de $[XY]$, il est à égale distance de $X$ et de $Y$ : $SY = SX = 1{,}75$ cm.

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   D · $M$ sur la médiatrice de $[AB]$, avec $MA = AB = 6$ cm : nature de $ABM$ ? : Un triangle équilatéral

   $MB = MA = 6$ cm, donc les trois côtés ont la même longueur : le triangle $ABM$ est équilatéral.

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   G · Dans un carré $ABCD$, la médiatrice de $[AB]$ passe-t-elle par $C$ ? : Non : C est plus proche de B que de A

   $C$ n'est sur la médiatrice que si $CA = CB$. Or $CB$ est un côté du carré, et $CA$ une diagonale, plus longue que ce côté.

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   A · M sur la médiatrice de [CD], MC = 3 × 2,4 cm, CD = 4,1 cm : périmètre de MCD : 18,5 centimètres

   $MD =$$MC =$$3 \times 2{,}4 =$$7{,}2$ cm. Le périmètre vaut $7{,}2 + 7{,}2 + 4{,}1 =$$18{,}5$ cm.

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   H · Dans un triangle $ABM$ isocèle en $M$, quel est un axe de symétrie ? : La droite passant par $M$ et le milieu de $[AB]$

   $MA = MB$ : le sommet $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$, qui est un axe de symétrie du triangle.

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   F · Prouver que $P$ est sur la médiatrice de $[KL]$ : comparer $PK$ et $PL$ : Une égalité de distances suffit : c'est la réciproque

   Dans les deux sens : si $PK = PL$, alors $P$ est sur la médiatrice. C'est la réciproque de la propriété caractéristique.

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   C · Rectangle $ABCD$ : par la symétrie d'axe la médiatrice de $[AD]$, où va $B$ ? : Le point $C$

   Cette symétrie échange $A$ et $D$, et envoie le côté $[AB]$ sur $[DC]$ : $B$ va donc en $C$.

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   B · P sur la médiatrice de [AB], PA = 5,8 cm : un élève écrit PA + PB = 5,8 : Faux : la somme vaut le double, soit 11,6 centimètres

   $PB = PA = 5{,}8$ cm, donc $PA + PB =$$2 \times 5{,}8 =$$11{,}6$ cm, et non $5{,}8$ cm.

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    E · $d$ coupe $[AB]$ perpendiculairement en $I$, avec $IA = IB = 4$ cm : $AB$ ? : 8 centimètres : c'est la médiatrice

    $I$ est à égale distance de $A$ et de $B$ : c'est le milieu de $[AB]$, donc $AB = 4 + 4 = 8$ cm, et $d$ est la médiatrice.

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