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Calcul littéral : raisonner en 3e

QCM · 15 questions Difficile · Mathématiques · Publié le

Chapitre : Le calcul littéral (3e) ›

Programme de référence : Attendus de fin d'année en mathématiques de 3e, ressource Éduscol (programme du BO n° 31 du 30 juillet 2020)

En 3e, le calcul littéral sert à raisonner : on développe avec la simple et la double distributivité, on réduit en regroupant les termes semblables, on factorise grâce à un facteur commun ou à la différence de deux carrés, et on résout des équations du premier degré, des équations produits ou de la forme x2=ax^2 = a, jusqu'aux problèmes qui s'y ramènent. Ce quiz s'adresse à ceux qui maîtrisent déjà les techniques : chaque question demande d'analyser un calcul, de comparer deux méthodes, de retrouver l'erreur d'un raisonnement ou de mener un petit problème jusqu'au bout. Une seule réponse correcte par question ; la correction rappelle la méthode.

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Calcul littéral : raisonner en 3e

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15 questions

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  1. Question 1 / 15

    Un élève développe (x+2)(x−6)(x + 2)(x - 6) et obtient x2−12x^2 - 12. Quelle erreur a-t-il commise ?

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Calcul littéral : raisonner en 3e

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Comment jouer

  • Quatre propositions, une seule bonne réponse.
  • La correction et l’explication s’affichent après chaque réponse.
  • Touches 1 à 4 ou A à D au clavier. Affichage « Une par une » ou « Toutes ».
  • Mode « Libre » : pas de limite de temps, record enregistré à part.

Réponses et explications

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La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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  1. Un élève développe (x+2)(x−6)(x + 2)(x - 6) et obtient x2−12x^2 - 12. Quelle erreur a-t-il commise ?

    Réponse C : Il a oublié les produits croisés, qui donnent −6x+2x=−4x-6x + 2x = -4x

    (x+2)(x−6)=(x + 2)(x - 6) =x2−x^2 -6x+6x +2x−2x -12=12 =x2−4x−12x^2 - 4x - 12 : sans les produits croisés, ils disparaissent.

  2. Un rectangle a pour longueur x+5x + 5 et pour largeur xx, en cm. Son périmètre vaut 26 cm. Quelle est sa largeur ?

    Réponse B : 4 cm

    2(x+5)+2x=2(x + 5) + 2x =4x+10=4x + 10 =2626 donne 4x=164x = 16, donc x=4x = 4 : la largeur mesure 4 cm.

  3. Un élève résout l'équation x2−64=0x^2 - 64 = 0 en écrivant x=64=8x = \sqrt{64} = 8. Que peut-on lui objecter ?

    Réponse D : Il oublie la solution x=−8x = -8, car (−8)2=64(-8)^2 = 64 aussi

    x2=64x^2 = 64 admet deux solutions, 8 et −8-8 ; l'élève n'a trouvé que la positive.

  4. Avant de factoriser 9x2−169x^2 - 16 avec l'identité (a+b)(a−b)=(a + b)(a - b) =a2−b2a^2 - b^2, que faut-il reconnaître ?

    Réponse A : Que 9x2=(3x)29x^2 = (3x)^2 et que 16=4216 = 4^2

    9x2−16=9x^2 - 16 =(3x)2−42=(3x)^2 - 4^2 =(3x+4)(3x−4)(3x + 4)(3x - 4) : tout repose sur la reconnaissance des deux carrés.

  5. Un élève résout 7x−4=3x+127x - 4 = 3x + 12 et écrit 7x+3x=12−47x + 3x = 12 - 4, d'où 10x=810x = 8. Quelle est son erreur ?

    Réponse A : En changeant un terme de membre, il doit changer de signe : 7x−3x=12+47x - 3x = 12 + 4, soit 4x=164x = 16

    On obtient 7x−3x=12+47x - 3x = 12 + 4, soit 4x=164x = 16 et x=4x = 4.

  6. Quelles sont les solutions de l'équation produit (4x−3)(2x+5)=(4x - 3)(2x + 5) =00 ?

    Réponse C : x=0,75x = 0{,}75 ou x=−2,5x = -2{,}5

    4x−3=04x - 3 = 0 donne x=0,75x = 0{,}75 ; 2x+5=02x + 5 = 0 donne x=−2,5x = -2{,}5.

  7. Quelle est la forme réduite de 10−3(x−4)10 - 3(x - 4) ?

    Réponse D : 22−3x22 - 3x

    10−3(x−4)=10 - 3(x - 4) =10−3x+12=10 - 3x + 12 =22−3x22 - 3x : le produit 3(x−4)3(x-4) est soustrait en entier.

  8. Sarah pense à un nombre : elle le multiplie par 3 puis ajoute 8. Thomas pense au même nombre : il le multiplie par 5. Ils trouvent le même résultat. Quelle équation traduit la situation, et quel est ce nombre ?

    Réponse C : 3x+8=5x3x + 8 = 5x ; le nombre est 4

    3x+8=5x3x + 8 = 5x donne 8=2x8 = 2x, donc x=4x = 4.

  9. Un élève affirme que 3x2+5x=8x33x^2 + 5x = 8x^3. Quelle phrase lui répond correctement ?

    Réponse B : Non : x2x^2 et xx n'ont pas la même partie littérale, ces termes ne sont pas semblables

    On ne regroupe que des termes semblables : 3x+5x=8x3x + 5x = 8x, mais x2x^2 et xx ne se mélangent pas.

  10. Pour quels nombres aa l'équation x2=ax^2 = a admet-elle exactement deux solutions ?

    Réponse D : Quand a>0a > 0

    Si a>0a > 0 : deux solutions a\sqrt{a} et −a-\sqrt{a} ; si a=0a = 0 : une seule ; si a<0a < 0 : aucune.

  11. Pour factoriser x2−9xx^2 - 9x, Noah propose x(x−9)x(x - 9) et Zoé propose (x−9)(x+9)(x - 9)(x + 9). Qui a raison ?

    Réponse A : Noah : en développant (x−9)(x+9)(x - 9)(x + 9), on trouverait x2−81x^2 - 81

    Le facteur commun est xx : x2−9x=x(x−9)x^2 - 9x = x(x - 9) ; on le vérifie en développant.

  12. Un élève développe (3x+2)(3x−2)(3x + 2)(3x - 2) et obtient 9x2−29x^2 - 2. Quelle erreur a-t-il commise ?

    Réponse C : Il a oublié d'élever 2 au carré : 22=42^2 = 4, donc le résultat est 9x2−49x^2 - 4

    (3x+2)(3x−2)=(3x + 2)(3x - 2) =(3x)2−22=(3x)^2 - 2^2 =9x2−49x^2 - 4 : le carré porte aussi sur le 2.

  13. Pour résoudre 3(x−2)=x+83(x - 2) = x + 8, un élève trouve x=5x = 5. Quelle erreur de calcul explique ce résultat ?

    Réponse A : Il a développé 3(x−2)3(x - 2) en 3x−23x - 2 au lieu de 3x−63x - 6

    3x−2=x+83x - 2 = x + 8 donne 2x=102x = 10, soit x=5x = 5 ; correctement, 3x−6=x+83x - 6 = x + 8 donne x=7x = 7.

  14. L'aire d'un carré est 81 cm². Quelle est la longueur de son côté ?

    Réponse C : 9 cm

    Le côté vérifie x2=81x^2 = 81 : deux solutions, 9 et −9-9, mais une longueur est toujours positive.

  15. On considère l'équation x2+x=6x^2 + x = 6. Lequel de ces jugements est exact ?

    Réponse A : Les nombres 2 et −3-3 sont tous deux solutions : 4+2=64 + 2 = 6 et 9−3=69 - 3 = 6

    On teste chaque nombre : 22+2=62^2 + 2 = 6 et (−3)2+(−3)=(-3)^2 + (-3) =9−3=9 - 3 =66.

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Calcul littéral : raisonner en 3e

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Une seule bonne réponse par question. Entourez la lettre de votre choix.

Questions

  1. 1

    Un élève développe (x+2)(x−6)(x + 2)(x - 6) et obtient x2−12x^2 - 12. Quelle erreur a-t-il commise ?

    • AIl a écrit x×x=2xx \times x = 2x au lieu de x2x^2
    • BLe produit 2×(−6)2 \times (-6) vaut +12+12, pas −12-12
    • CIl a oublié les produits croisés, qui donnent −6x+2x=−4x-6x + 2x = -4x
    • DIl a réduit −6x+2x-6x + 2x en −8x-8x
  2. 2

    Un rectangle a pour longueur x+5x + 5 et pour largeur xx, en cm. Son périmètre vaut 26 cm. Quelle est sa largeur ?

    • A9 cm
    • B4 cm
    • C5 cm
    • D13 cm
  3. 3

    Un élève résout l'équation x2−64=0x^2 - 64 = 0 en écrivant x=64=8x = \sqrt{64} = 8. Que peut-on lui objecter ?

    • AIl a raison : 8 est l'unique solution de l'équation
    • BIl devrait trouver x=−8x = -8 seulement, car la racine carrée est négative
    • CIl devrait écrire x=64x = \sqrt{64} ou x=−64x = \sqrt{-64}
    • DIl oublie la solution x=−8x = -8, car (−8)2=64(-8)^2 = 64 aussi
  4. 4

    Avant de factoriser 9x2−169x^2 - 16 avec l'identité (a+b)(a−b)=(a + b)(a - b) =a2−b2a^2 - b^2, que faut-il reconnaître ?

    • AQue 9x2=(3x)29x^2 = (3x)^2 et que 16=4216 = 4^2
    • BQue 9x2=(9x)29x^2 = (9x)^2 et que 16=4216 = 4^2
    • CQue 9x2−169x^2 - 16 a un facteur commun
    • DQu'il faut d'abord développer avec la double distributivité
  5. 5

    Un élève résout 7x−4=3x+127x - 4 = 3x + 12 et écrit 7x+3x=12−47x + 3x = 12 - 4, d'où 10x=810x = 8. Quelle est son erreur ?

    • AEn changeant un terme de membre, il doit changer de signe : 7x−3x=12+47x - 3x = 12 + 4, soit 4x=164x = 16
    • BAucune : 10x=810x = 8 est bien l'étape suivante
    • CIl fallait d'abord développer, car il y a des parenthèses
    • DIl fallait multiplier les deux membres par 3 avant de déplacer les termes
  6. 6

    Quelles sont les solutions de l'équation produit (4x−3)(2x+5)=(4x - 3)(2x + 5) =00 ?

    • Ax=−0,75x = -0{,}75 ou x=−2,5x = -2{,}5
    • Bx=0,75x = 0{,}75 ou x=2,5x = 2{,}5
    • Cx=0,75x = 0{,}75 ou x=−2,5x = -2{,}5
    • Dx=12x = 12 ou x=−10x = -10
  7. 7

    Quelle est la forme réduite de 10−3(x−4)10 - 3(x - 4) ?

    • A14−3x14 - 3x
    • B6−3x6 - 3x
    • C22+3x22 + 3x
    • D22−3x22 - 3x
  8. 8

    Sarah pense à un nombre : elle le multiplie par 3 puis ajoute 8. Thomas pense au même nombre : il le multiplie par 5. Ils trouvent le même résultat. Quelle équation traduit la situation, et quel est ce nombre ?

    • A3(x+8)=5x3(x + 8) = 5x ; le nombre est 12
    • B5x+8=3x5x + 8 = 3x ; le nombre est −4-4
    • C3x+8=5x3x + 8 = 5x ; le nombre est 4
    • D3x+8=5x3x + 8 = 5x ; le nombre est −4-4
  9. 9

    Un élève affirme que 3x2+5x=8x33x^2 + 5x = 8x^3. Quelle phrase lui répond correctement ?

    • ASi : 3+5=83 + 5 = 8 et les exposants s'ajoutent
    • BNon : x2x^2 et xx n'ont pas la même partie littérale, ces termes ne sont pas semblables
    • CNon : il faudrait écrire 8x8x, sans exposant
    • DNon : on ne peut jamais additionner deux termes d'une expression
  10. 10

    Pour quels nombres aa l'équation x2=ax^2 = a admet-elle exactement deux solutions ?

    • APour tous les nombres aa
    • BSeulement quand aa est un carré parfait (0, 1, 4, 9…)
    • CQuand a≥0a \geq 0
    • DQuand a>0a > 0
  11. 11

    Pour factoriser x2−9xx^2 - 9x, Noah propose x(x−9)x(x - 9) et Zoé propose (x−9)(x+9)(x - 9)(x + 9). Qui a raison ?

    • ANoah : en développant (x−9)(x+9)(x - 9)(x + 9), on trouverait x2−81x^2 - 81
    • BZoé : car il y a une différence de carrés
    • CLes deux : les deux écritures sont égales
    • DAucun des deux : x2−9xx^2 - 9x n'est pas factorisable
  12. 12

    Un élève développe (3x+2)(3x−2)(3x + 2)(3x - 2) et obtient 9x2−29x^2 - 2. Quelle erreur a-t-il commise ?

    • AIl a oublié les produits croisés −6x-6x et +6x+6x, qui s'annulent
    • BIl a confondu (3x)2(3x)^2 avec 3x23x^2
    • CIl a oublié d'élever 2 au carré : 22=42^2 = 4, donc le résultat est 9x2−49x^2 - 4
    • DIl a fait une erreur de signe : 2×(−2)2 \times (-2) vaut +4+4
  13. 13

    Pour résoudre 3(x−2)=x+83(x - 2) = x + 8, un élève trouve x=5x = 5. Quelle erreur de calcul explique ce résultat ?

    • AIl a développé 3(x−2)3(x - 2) en 3x−23x - 2 au lieu de 3x−63x - 6
    • BIl a développé 3(x−2)3(x - 2) en 3x+63x + 6 au lieu de 3x−63x - 6
    • CIl a écrit 3x−x=8−63x - x = 8 - 6 au lieu de 3x−x=8+63x - x = 8 + 6
    • DIl a divisé les deux membres par 3 au lieu de développer
  14. 14

    L'aire d'un carré est 81 cm². Quelle est la longueur de son côté ?

    • A9 cm ou −9-9 cm
    • B20,25 cm
    • C9 cm
    • D40,5 cm
  15. 15

    On considère l'équation x2+x=6x^2 + x = 6. Lequel de ces jugements est exact ?

    • ALes nombres 2 et −3-3 sont tous deux solutions : 4+2=64 + 2 = 6 et 9−3=69 - 3 = 6
    • BSeul 2 est solution, car (−3)2=−9(-3)^2 = -9
    • CSeul 2 est solution : une équation n'a qu'une seule solution
    • DAucun des deux : il faut d'abord factoriser x2+xx^2 + x

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Corrigé et explications

Calcul littéral : raisonner en 3e

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

  1. 1

    C · Il a oublié les produits croisés, qui donnent −6x+2x=−4x-6x + 2x = -4x

    (x+2)(x−6)=(x + 2)(x - 6) =x2−x^2 -6x+6x +2x−2x -12=12 =x2−4x−12x^2 - 4x - 12 : sans les produits croisés, ils disparaissent.

  2. 2

    B · 4 cm

    2(x+5)+2x=2(x + 5) + 2x =4x+10=4x + 10 =2626 donne 4x=164x = 16, donc x=4x = 4 : la largeur mesure 4 cm.

  3. 3

    D · Il oublie la solution x=−8x = -8, car (−8)2=64(-8)^2 = 64 aussi

    x2=64x^2 = 64 admet deux solutions, 8 et −8-8 ; l'élève n'a trouvé que la positive.

  4. 4

    A · Que 9x2=(3x)29x^2 = (3x)^2 et que 16=4216 = 4^2

    9x2−16=9x^2 - 16 =(3x)2−42=(3x)^2 - 4^2 =(3x+4)(3x−4)(3x + 4)(3x - 4) : tout repose sur la reconnaissance des deux carrés.

  5. 5

    A · En changeant un terme de membre, il doit changer de signe : 7x−3x=12+47x - 3x = 12 + 4, soit 4x=164x = 16

    On obtient 7x−3x=12+47x - 3x = 12 + 4, soit 4x=164x = 16 et x=4x = 4.

  6. 6

    C · x=0,75x = 0{,}75 ou x=−2,5x = -2{,}5

    4x−3=04x - 3 = 0 donne x=0,75x = 0{,}75 ; 2x+5=02x + 5 = 0 donne x=−2,5x = -2{,}5.

  7. 7

    D · 22−3x22 - 3x

    10−3(x−4)=10 - 3(x - 4) =10−3x+12=10 - 3x + 12 =22−3x22 - 3x : le produit 3(x−4)3(x-4) est soustrait en entier.

  8. 8

    C · 3x+8=5x3x + 8 = 5x ; le nombre est 4

    3x+8=5x3x + 8 = 5x donne 8=2x8 = 2x, donc x=4x = 4.

  9. 9

    B · Non : x2x^2 et xx n'ont pas la même partie littérale, ces termes ne sont pas semblables

    On ne regroupe que des termes semblables : 3x+5x=8x3x + 5x = 8x, mais x2x^2 et xx ne se mélangent pas.

  10. 10

    D · Quand a>0a > 0

    Si a>0a > 0 : deux solutions a\sqrt{a} et −a-\sqrt{a} ; si a=0a = 0 : une seule ; si a<0a < 0 : aucune.

  11. 11

    A · Noah : en développant (x−9)(x+9)(x - 9)(x + 9), on trouverait x2−81x^2 - 81

    Le facteur commun est xx : x2−9x=x(x−9)x^2 - 9x = x(x - 9) ; on le vérifie en développant.

  12. 12

    C · Il a oublié d'élever 2 au carré : 22=42^2 = 4, donc le résultat est 9x2−49x^2 - 4

    (3x+2)(3x−2)=(3x + 2)(3x - 2) =(3x)2−22=(3x)^2 - 2^2 =9x2−49x^2 - 4 : le carré porte aussi sur le 2.

  13. 13

    A · Il a développé 3(x−2)3(x - 2) en 3x−23x - 2 au lieu de 3x−63x - 6

    3x−2=x+83x - 2 = x + 8 donne 2x=102x = 10, soit x=5x = 5 ; correctement, 3x−6=x+83x - 6 = x + 8 donne x=7x = 7.

  14. 14

    C · 9 cm

    Le côté vérifie x2=81x^2 = 81 : deux solutions, 9 et −9-9, mais une longueur est toujours positive.

  15. 15

    A · Les nombres 2 et −3-3 sont tous deux solutions : 4+2=64 + 2 = 6 et 9−3=69 - 3 = 6

    On teste chaque nombre : 22+2=62^2 + 2 = 6 et (−3)2+(−3)=(-3)^2 + (-3) =9−3=9 - 3 =66.

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