Fonctions (3e) : raisonner et justifier

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Une sortie coûte 6 € de location de matériel, plus 4 € par personne. Le prix pour $x$ personnes est modélisé par une fonction $p$. Pourquoi $p$ n'est-elle pas une fonction linéaire ?

   Réponse C : Parce que $p(0)=6$ : la droite ne passe pas par l'origine du repère

   Une fonction linéaire vérifie $f(0)=0$, car elle est de la forme $ax$. Ici $p(x)=4x+6$ et $p(0)=6$ : $p$ est affine, mais pas linéaire.

2. 2

   La fonction $f$ est linéaire et $f(4)=10$. Quelle est l'image de 6 par $f$ ?

   Réponse B : $15$

   Comme $f$ est linéaire, $f(x)=ax$ avec $4a=10$, donc $a=\frac{5}{2}$. Alors $f(6)=$$\frac{5}{2}\times 6=$$15$.

3. 3

   Un programme de calcul : prendre un nombre $x$, lui retirer 20 %, puis ajouter au résultat 20 % de ce résultat. Quelle expression obtient-on ?

   Réponse D : $0{,}96x$

   Retirer 20 % donne $0{,}8x$ ; ajouter 20 % revient à multiplier par $1{,}2$ : $0{,}8x\times 1{,}2=0{,}96x$. Les deux variations ne se compensent pas.

4. 4

   La représentation graphique d'une fonction affine $f$ passe par les points $(0~;~4)$ et $(2~;~-2)$. Quelle est l'expression de $f(x)$ ?

   Réponse C : $-3x+4$

   $f(0)=4$ donne $b=4$. Puis $f(2)=2a+4=-2$ donne $2a=-6$, donc $a=-3$ : $f(x)=-3x+4$.

5. 5

   Parmi les fonctions suivantes, laquelle n'est ni linéaire ni affine ?

   Réponse C : $f(x)=x^2$

   $f(x)=3x$ est linéaire (donc affine avec $b=0$) et $f(x)=2x+3$ est affine. La fonction constante $f(x)=5$ est affine avec $a=0$. Mais la fonction carré, qui à $x$ associe $x^2$, n'est ni linéaire ni affine.

6. 6

   Un élève cherche l'antécédent de 21 par le programme « multiplier par 3, puis ajouter 6 ». Il calcule $21 \div 3 - 6 = 1$. Quelle est son erreur ?

   Réponse D : Il a défait les opérations dans l'ordre du programme, au lieu de l'ordre inverse

   Pour remonter un programme, on annule les opérations dans l'ordre inverse : on soustrait d'abord 6, puis on divise par 3. Il a effectué ces opérations inverses dans le mauvais ordre.

7. 7

   Un élève affirme que les antécédents de 0 par $h(x)=$$(4x-8)(x+2)$ sont $8$ et $-2$. Quelle est son erreur ?

   Réponse B : Il a oublié de diviser 8 par 4 : $4x=8$ donne $x=2$, et non $x=8$

   Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : $4x-8=0$ donne $4x=8$, donc $x=2$ ; $x+2=0$ donne $x=-2$. Les antécédents sont 2 et −2.

8. 8

   Pourquoi une fonction affine $f(x)=ax+b$, avec $a \neq 0$, ne peut-elle jamais avoir deux antécédents d'un même nombre ?

   Réponse A : Parce que sa droite n'est pas horizontale : elle coupe chaque horizontale en un seul point

   Chercher un antécédent de $c$ revient à résoudre $ax+b=c$, soit $x=\frac{c-b}{a}$ : une seule solution si $a\neq 0$.

9. 9

   Une fonction affine $f$ vérifie $f(0)=5$ et $f(1)=3$. Quelle est l'image de $-2$ par $f$ ?

   Réponse D : $9$

   Quand $x$ augmente de 1, l'image varie de $3-5=-2$ : donc $a=-2$, et $b=f(0)=5$. Ainsi $f(-2)=$$-2\times(-2)+5=$$9$.

10. 10

    Après une réduction de 20 %, un article coûte 60 €. On note $f(x)$ le prix après réduction d'un article qui coûtait $x$ €. Quel était le prix avant réduction ?

    Réponse B : 75 €

    Un prix réduit de 20 % vaut 80 % du prix initial : $f(x)=0{,}8x$. Il faut donc résoudre $0{,}8x=60$, soit $x=60\div 0{,}8=75$.

11. 11

    Soit $f(x)=3x+2$ et $g(x)=3x-1$. Quelle affirmation est vraie pour tout nombre $x$ ?

    Réponse A : $g(x)$ est égal à $f(x)$ diminué de 3

    $f(x)-g(x)=$$(3x+$$2)-$$(3x-$$1)=$$3$, donc $g(x)=f(x)-3$. Les deux droites ont le même coefficient 3, mais des ordonnées à l'origine différentes.

12. 12

    Pour $f(x)=4x-6$, la droite représentative de $f$ coupe l'axe des abscisses en un point. Quelles sont ses coordonnées ?

    Réponse D : $\left(\frac{3}{2}~;~0\right)$

    Un point de l'axe des abscisses a une ordonnée nulle : il faut $f(x)=0$, soit $4x-6=0$. Alors $4x=6$ et $x=\frac{3}{2}$.

13. 13

    La représentation graphique d'une fonction linéaire $f$ passe par l'origine du repère et par le point $(4~;~-6)$. Quelle est l'expression de $f(x)$ ?

    Réponse C : $-\frac{3}{2}x$

    Une fonction linéaire s'écrit $f(x)=ax$ et $f(4)=-6$ donne $4a=-6$. Donc $a=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$.

14. 14

    Une salle de sport propose deux formules. Formule A : 20 € par séance. Formule B : un abonnement de 60 € puis 8 € par séance. Pour combien de séances les deux formules coûtent-elles le même prix ?

    Réponse D : 5

    Avec $x$ séances, on résout $20x=8x+60$ : $12x=60$, donc $x=5$. Pour 5 séances, les deux formules coûtent 100 €.

15. 15

    Une fonction affine $f$ vérifie $f(2)=f(5)$. Que peut-on en déduire ?

    Réponse C : $f$ est constante, car $a \times (5-2)=0$ impose $a=0$

    Quand $x$ passe de 2 à 5, l'image varie de $a\times 3$. Comme elle ne varie pas, $3a=0$, donc $a=0$ : la fonction est constante.

16. 16

    Dans un rectangle de 20 cm sur 13 cm, on retire 4 carrés de côté $x$ cm. L'aire restante vaut 208,16 cm², ce qui donne $4x^2=51{,}84$ : $x=3{,}6$ ou $x=-3{,}6$. Pourquoi ne retient-on que $3{,}6$ ?

    Réponse B : Parce que $x$ désigne la longueur d'un côté de carré : seule la valeur positive convient

    $x$ est une longueur, donc positif. La valeur $-3{,}6$ vérifie bien $4x^2=51{,}84$, mais elle n'a pas de sens ici.

17. 17

    La représentation graphique de la fonction affine $f(x)=ax+b$ passe par l'origine du repère et descend quand $x$ augmente. Que peut-on dire de $a$ et de $b$ ?

    Réponse A : $a<0$ et $b=0$

    Passer par l'origine impose $f(0)=b=0$. Une droite qui descend a un coefficient directeur $a$ négatif : $f$ est décroissante.