Calcul exact ou approché : idées reçues

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Le nombre $0{,}375$ peut s'écrire $\frac{3}{8}$ : c'est un nombre décimal.

   Vrai

   Un nombre décimal peut s'écrire comme le quotient d'un entier par une puissance de 10 : $0{,}375 =$$\frac{375}{1000} =$$\frac{3}{8}$, donc c'est bien un nombre décimal.

2. 2

   Le quotient $0{,}6 \div 0{,}5$ ne peut pas s'écrire sous la forme d'un nombre décimal.

   Faux

   Diviser par $0{,}5$ revient à multiplier par 2 : $0{,}6 \div 0{,}5 = 1{,}2$, qui est bien un nombre décimal.

3. 3

   L'équation $x^2 = 0{,}49$ a pour solutions $0{,}07$ et $-0{,}07$.

   Faux

   $(0{,}07)^2 = 0{,}0049$ ; c'est $(0{,}7)^2$ qui vaut $0{,}49$. Les solutions sont donc $0{,}7$ et $-0{,}7$.

4. 4

   L'équation $x^2 = 17$ a deux solutions, dont les valeurs approchées au dixième sont $4{,}1$ et $-4{,}1$.

   Vrai

   Les solutions sont $\sqrt{17}$ et $-\sqrt{17}$, et comme $\sqrt{17} \approx 4{,}123$, elles valent environ $4{,}1$ et $-4{,}1$.

5. 5

   Une balle lâchée de 2 m rebondit aux $\frac{3}{4}$ de la hauteur précédente : au deuxième rebond, elle remonte à 1,125 m.

   Vrai

   Au deuxième rebond, la hauteur vaut $2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 =$$2 \times \frac{9}{16} =$$\frac{9}{8} =$$1{,}125$ m.

6. 6

   $\sqrt{1} + \sqrt{8} = \sqrt{9} = 3$.

   Faux

   $\sqrt{1}=1$ et $\sqrt{8}\approx2{,}83$, donc le membre de gauche vaut environ $3{,}83$, tandis que $\sqrt{9}=3$ : cet exemple montre que la racine d'une somme n'est pas toujours la somme des racines.

7. 7

   L'arrondi au dixième de $\sqrt{18}$ est $4{,}2$.

   Vrai

   Comme $4{,}2^2=$$17{,}64<$$18<$$18{,}0625=$$4{,}25^2$, on a $4{,}2<\sqrt{18}<4{,}25$ ; l'arrondi au dixième est donc $4{,}2$.

8. 8

   Le nombre $3{,}5 \times 10^5$ est inférieur à 100 000.

   Faux

   $10^5$ est le produit de cinq facteurs égaux à 10, donc $3{,}5 \times 10^5 =$$350\,000$, bien supérieur à 100 000.

9. 9

   Pour additionner $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{6}$, on peut prendre 12 comme dénominateur commun : la somme vaut $\frac{5}{12}$.

   Vrai

   $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ et $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$, d'où une somme de $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$.

10. 10

    Comme 7 est plus grand que 5 et 12 plus grand que 8, la fraction $\frac{7}{12}$ est plus grande que $\frac{5}{8}$.

    Faux

    Au dénominateur 24 : $\frac{5}{8} = \frac{15}{24}$ et $\frac{7}{12} = \frac{14}{24}$. C'est donc $\frac{5}{8}$ la plus grande.

11. 11

    Quand on divise un nombre par $\frac{2}{3}$, on obtient un résultat plus petit que le nombre de départ.

    Faux

    Diviser par $\frac{2}{3}$ revient à multiplier par son inverse $\frac{3}{2}$ : $8 \times \frac{3}{2} = 12$, plus grand que 8.

12. 12

    Les calculs $(-3)^2$ et $-3^2$ donnent le même résultat.

    Faux

    $(-3)^2 = 9$ : le produit de deux nombres négatifs est positif. Sans parenthèses, $-3^2 = -9$, le carré ne porte que sur 3.

13. 13

    Le nombre $1{,}5 \times 10^{-2}$ est inférieur à $0{,}02$.

    Vrai

    $10^{-2} = 0{,}01$, donc $1{,}5 \times 10^{-2} = 0{,}015$, qui est bien inférieur à $0{,}02$.

14. 14

    $3^0 + 3^1 + 3^2 = 3^3$.

    Faux

    $3^0 = 1$, $3^1 = 3$ et $3^2 = 9$, d'où une somme de 13, alors que $3^3 = 27$ : on n'additionne pas les résultats de puissances ainsi.

15. 15

    L'écriture scientifique du nombre $-0{,}00027$ est $-2{,}7 \times 10^{-4}$.

    Vrai

    $0{,}00027 =$$2{,}7 \times 10^{-4}$ ; pour un nombre négatif, on place le signe moins devant l'écriture scientifique.

16. 16

    En notation scientifique, le nombre $12\,000$ s'écrit $12 \times 10^3$.

    Faux

    En notation scientifique, le décimal est compris entre 1 et 10 : $12\,000 = 1{,}2 \times 10^4$.

17. 17

    Puisque $\frac{1}{3}$ n'a pas d'écriture décimale exacte, ce n'est pas un nombre rationnel.

    Faux

    $\frac{1}{3}$ est le quotient de deux entiers, donc un rationnel ; il n'est simplement pas un nombre décimal.