Calcul exact ou approché : vrai ou faux

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   La fraction $\frac{12}{18}$ est égale à $\frac{2}{3}$.

   Vrai

   On divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre, 6 : $\frac{12}{18}=$$\frac{12\div 6}{18\div 6}=$$\frac{2}{3}$.

2. 2

   Le calcul $2+3\times4$ donne $20$.

   Faux

   La multiplication est effectuée avant l’addition : $3\times4=12$, puis $2+12=14$.

3. 3

   $\left(\sqrt{7}\right)^2=7$.

   Vrai

   $\sqrt{7}$ est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne 7 : $\left(\sqrt{7}\right)^2=7$.

4. 4

   $-4$ est un nombre rationnel.

   Vrai

   Un nombre rationnel est un quotient de deux entiers relatifs, le dénominateur étant non nul : $-4=\frac{-4}{1}$.

5. 5

   $\frac{1}{3}$ est un nombre décimal.

   Faux

   $\frac{1}{3}$ est rationnel, mais ce n’est pas un nombre décimal : un nombre décimal est le quotient d’un entier relatif par une puissance de 10.

6. 6

   Une balle lâchée de 1 m remonte, à chaque rebond, aux $\frac{3}{4}$ de la hauteur précédente : au troisième rebond, elle remonte à $\frac{27}{64}$ m.

   Vrai

   Après le premier rebond, la hauteur est $\frac{3}{4}$ m ; au troisième, $\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64}$ m.

7. 7

   La somme $\frac{2}{5}+\frac{1}{4}$ est égale à $\frac{3}{9}$.

   Faux

   Il faut d’abord les mettre au même dénominateur : $\frac{2}{5}+\frac{1}{4}=$$\frac{8}{20}+\frac{5}{20}=$$\frac{13}{20}$.

8. 8

   La racine carrée de $36+64$ est égale à $\sqrt{36}+\sqrt{64}$.

   Faux

   La racine carrée d’une somme n’est pas la somme des racines : $\sqrt{36+64}=$$\sqrt{100}=$$10$, alors que $\sqrt{36}+\sqrt{64}=$$6+8=$$14$.

9. 9

   Le nombre $3\,500$ est égal à $3{,}5\times10^3$.

   Vrai

   $3{,}5\times$$10\times$$10\times$$10=$$3\,500$ : chaque multiplication par 10 déplace la virgule d’un rang vers la droite.

10. 10

    À partir d’une seule bactérie qui double chaque demi-heure, on obtient 72 bactéries au bout de 18 heures.

    Faux

    18 heures font 36 doublements : on obtient $2^{36}$ bactéries, soit environ 68,7 milliards, et non $2\times36=72$.

11. 11

    $\frac{2}{3}\times\frac{5}{7}=\frac{10}{21}$.

    Vrai

    On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $2\times5=10$ et $3\times7=21$.

12. 12

    Un carré d’aire 17 cm² a pour côté environ 4,1 cm.

    Vrai

    Son côté mesure $\sqrt{17}$ cm, car $\sqrt{17}\approx4{,}123$ : au millimètre près, c’est 4,1 cm.

13. 13

    $\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$.

    Faux

    Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{3}{4}\times\frac{2}{1}=$$\frac{6}{4}=$$\frac{3}{2}$.

14. 14

    La puissance $2^5$ vaut $32$.

    Vrai

    $2^5$ désigne cinq facteurs égaux à 2 : $2\times$$2\times$$2\times$$2\times$$2=$$32$.

15. 15

    Le nombre 3 est l’unique solution de l’équation $x^2=9$.

    Faux

    Pour $a > 0$, l’équation $x^2=a$ a deux solutions, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ : ici $3$ et $-3$.

16. 16

    Le nombre décimal $0{,}7$ est égal à $\frac{7}{10}$.

    Vrai

    Un nombre décimal est un quotient d’un entier relatif par une puissance de 10 : $0{,}7=\frac{7}{10}$.

17. 17

    Le nombre $0{,}00042$ est égal à $4{,}2\times10^4$.

    Faux

    Le bon exposant est négatif : $0{,}00042=$$4{,}2\times10^{-4}$, car $10^{-4}=$$\frac{1}{10^4}=$$0{,}0001$.

18. 18

    $\frac{3}{0}$ vaut 0.

    Faux

    Le dénominateur d’une fraction doit être différent de 0 : $\frac{3}{0}$ n’a pas de sens.