Calcul littéral : raisonner et juger

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

Une erreur dans ce corrigé ? Signaler une erreur

1. 1

   Un nombre dont le triple, diminué de 4, est égal au double du nombre, augmenté de 5, vaut 9.

   Vrai

   On traduit par $3x - 4 = 2x + 5$ ; en regroupant les termes en $x$, $3x - 2x = 5 + 4$, donc $x = 9$.

2. 2

   En regroupant les termes de $3x + 8 = x - 4$, on obtient $2x = 4$, donc $x = 2$.

   Faux

   Le 8 passe à droite en changeant de signe : $2x = -4 - 8 = -12$, donc $x = -6$.

3. 3

   $10x - 15x^2 =$$5x(2 - 3x)$.

   Vrai

   $5x$ est un facteur commun : $5x \times 2 = 10x$ et $5x \times 3x = 15x^2$, donc $5x(2 - 3x) =$$10x - 15x^2$.

4. 4

   Pour $x = 2$, les expressions $x^2$ et $2x$ prennent la même valeur : elles sont donc égales pour tout $x$.

   Faux

   Une seule valeur ne suffit pas : pour $x = 3$, $x^2$ vaut 9 et $2x$ vaut 6, donc les expressions ne sont pas égales.

5. 5

   Pour $x = -2$, l’expression $3(x + 4)$ vaut $6$, alors que $3x + 4$ vaut $-2$.

   Vrai

   Les parenthèses font multiplier toute la somme : $3 \times (-2 + 4) = 6$, alors que $3 \times (-2) + 4 = -2$.

6. 6

   Les programmes « ajouter 4, puis doubler » et « doubler, puis ajouter 4 » donnent le même résultat pour tout nombre de départ.

   Faux

   Doubler le résultat de $x + 4$ donne $2x + 8$, et non $2x + 4$ : pour $x = 1$, on obtient 10 contre 6.

7. 7

   L’équation $3x + 5 = 2x + 5$ a pour solution $0$.

   Vrai

   En retranchant $2x$ et $5$ aux deux membres, il reste $x = 0$ : pour $x = 0$, les deux membres valent bien 5.

8. 8

   $8x + 12 =$$4(2x + 12)$.

   Faux

   Le facteur $4$ doit diviser chaque terme : $12 \div 4 = 3$, donc $8x + 12 =$$4(2x + 3)$.

9. 9

   En développant $2(x + 3)$ puis en factorisant le résultat par $2$, on revient à l’expression de départ $2(x + 3)$.

   Vrai

   Factoriser est l’inverse de développer : $2(x + 3) = 2x + 6$, puis $2x + 6 = 2(x + 3)$.

10. 10

    Pour $x = 2$, l’expression $6(3 - 1{,}5x) - 9x$ vaut $0$.

    Faux

    $6(3 - 1{,}5 \times 2) = 0$, mais il faut encore soustraire $9 \times 2 = 18$ : la valeur est $-18$.

11. 11

    L’équation $2x + 1 = 3x - 1$ a pour solution $2$.

    Vrai

    En regroupant, $3x - 2x = 1 + 1$, donc $x = 2$ ; vérification : $2 \times 2 + 1 = 5$ et $3 \times 2 - 1 = 5$.

12. 12

    L’expression $4x + 2x^2 + 3$ se réduit en $6x^2 + 3$.

    Faux

    $4x$ et $2x^2$ ne sont pas semblables : on ne les additionne pas, la forme réduite est $2x^2 + 4x + 3$.

13. 13

    L’expression $3x + 3x^2 + 3$ est déjà sous sa forme réduite.

    Vrai

    Les termes en $x$, en $x^2$ et le terme constant ne sont pas semblables deux à deux : il n’y a rien à regrouper.

14. 14

    $x(x + 3) + 2x$ se réduit en $x^2 + 2x + 3$.

    Faux

    $x(x + 3) = x^2 + 3x$ : le facteur $x$ multiplie aussi le $3$. Ainsi, $x(x + 3) + 2x =$$x^2 + 5x$.

15. 15

    Un nombre $x$, multiplié par $5$ puis diminué de $3$, donne $27$ : ce nombre vaut $6$.

    Vrai

    On traduit par $5x - 3 = 27$, soit $5x = 30$ ; en divisant par $5$, on trouve $x = 6$.