Fractions : raisonner avant de comparer

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Selon Léa, $\frac{9}{9}$, $\frac{12}{12}$ et $\frac{25}{25}$ sont trois nombres différents, car 9, 12 et 25 ne sont pas égaux.

   Faux

   Dans chacune, le numérateur égale le dénominateur : $\frac{9}{9} =$$\frac{12}{12} =$$\frac{25}{25} =$$1$. Ces écritures désignent le même nombre.

2. 2

   Parmi $\frac{30}{45}$, $\frac{6}{8}$ et $\frac{14}{21}$, deux fractions sont égales entre elles.

   Vrai

   $\frac{30}{45} = \frac{2}{3}$ et $\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$, alors que $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ : ce sont $\frac{30}{45}$ et $\frac{14}{21}$ qui sont égales.

3. 3

   Pour prouver que $\frac{4}{7} = \frac{21}{28}$, il suffit d'écrire $\frac{4 \times 4}{7 \times 4} =$$\frac{16}{28}$.

   Faux

   $\frac{4 \times 4}{7 \times 4} =$$\frac{16}{28}$ et $16 \neq 21$ : on obtient $\frac{16}{28}$, pas $\frac{21}{28}$, donc l'égalité n'est pas prouvée.

4. 4

   $\frac{8}{7}$ est plus grande que $\frac{14}{13}$ car $\frac{8}{7} = 1 + \frac{1}{7}$ et $\frac{1}{7} > \frac{1}{13}$.

   Vrai

   $\frac{14}{13} = 1 + \frac{1}{13}$ ; les deux fractions dépassent 1, et $\frac{1}{7} > \frac{1}{13}$ (même numérateur 1), donc $\frac{8}{7} > \frac{14}{13}$.

5. 5

   Dans une tarte coupée en 9 parts égales, chaque part est plus grande que dans une tarte identique coupée en 7 parts égales.

   Faux

   Plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites : $\frac{1}{9} < \frac{1}{7}$. La part de la tarte en 9 est la plus petite.

6. 6

   Comme $\frac{3}{4} = \frac{18}{24}$ et $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$, on a $\frac{3}{4} < \frac{19}{24} < \frac{5}{6}$.

   Vrai

   Au même dénominateur 24, on compare les numérateurs : $18 < 19 < 20$, donc l'encadrement de $\frac{19}{24}$ est correct.

7. 7

   $4\frac{3}{5}$ est plus grand que $4\frac{7}{10}$.

   Faux

   Même partie entière : on compare $\frac{3}{5}$ et $\frac{7}{10}$ ; or $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} < \frac{7}{10}$, donc $4\frac{7}{10}$ est le plus grand.

8. 8

   $\frac{6}{13}$ est plus grande que $\frac{9}{17}$.

   Faux

   $\frac{6}{13} < \frac{1}{2}$ car $6 < 6{,}5$, et $\frac{9}{17} > \frac{1}{2}$ car $9 > 8{,}5$ ; donc $\frac{6}{13} < \frac{9}{17}$.

9. 9

   Comme $34 \div 5 = 6{,}8$, le nombre $\frac{34}{5}$ est compris entre 6 et 7.

   Vrai

   $\frac{34}{5}$ est le quotient $34 \div 5 = 6{,}8$, qui est bien compris entre 6 et 7.

10. 10

    $\frac{19}{4}$ est plus petite que le nombre mixte $3\frac{4}{5}$.

    Faux

    $3\frac{4}{5} =$$\frac{3 \times 5 + 4}{5} =$$\frac{19}{5}$ ; à numérateur égal, la plus grande a le plus petit dénominateur : $\frac{19}{4} > \frac{19}{5}$.

11. 11

    $\frac{9}{12}$ est plus grande que $\frac{10}{15}$.

    Vrai

    $\frac{10}{15} = \frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ ; au même dénominateur 12, on compare $9$ et $8$, donc $\frac{9}{12} > \frac{10}{15}$.

12. 12

    $\frac{26}{7}$ est plus proche de 4 que de 3, donc sa partie entière dans le nombre mixte est 4.

    Faux

    $26 = 3 \times 7 + 5$, donc $\frac{26}{7} = 3\frac{5}{7}$ : la partie entière compte les fois où 7 tient dans 26, elle vaut 3.

13. 13

    Dans l'ordre décroissant, on a $\frac{13}{8} > \frac{7}{5} > \frac{3}{2}$.

    Faux

    $\frac{7}{5} = \frac{14}{10}$ et $\frac{3}{2} = \frac{15}{10}$, donc $\frac{3}{2} > \frac{7}{5}$ : l'ordre décroissant correct est $\frac{13}{8} > \frac{3}{2} > \frac{7}{5}$.

14. 14

    Le nombre $\frac{50}{9}$ peut aussi s'écrire $5\frac{5}{9}$.

    Vrai

    $50 = 5 \times 9 + 5$, donc $\frac{50}{9} =$$5 + \frac{5}{9} =$$5\frac{5}{9}$, et $\frac{5}{9} < 1$.

15. 15

    En écrivant $\frac{13}{4}$ sous forme de nombre mixte, Nina trouve $2\frac{5}{4}$ : son écriture est correcte.

    Faux

    Dans un nombre mixte, la partie fractionnaire est inférieure à 1. Or $13 = 3 \times 4 + 1$, donc $\frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}$.

16. 16

    $\frac{13}{24}$ est plus petite que $\frac{9}{16}$, même si ces deux fractions dépassent $\frac{1}{2}$.

    Vrai

    $13 > 12$ et $9 > 8$ : les deux dépassent $\frac{1}{2}$. Au dénominateur 48 : $\frac{13}{24} =$$\frac{26}{48} <$$\frac{27}{48} =$$\frac{9}{16}$.