Solides de l'espace : vrai ou faux (5e)

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Un prisme droit et un cylindre de révolution ont des bases de même aire et la même hauteur. Ces deux solides ont alors le même volume.

   Vrai

   Dans les deux cas, le volume est l'aire de la base multipliée par la hauteur : $B \times h$ pour le prisme, $\pi \times r^2 \times h$ pour le cylindre. Même base, même hauteur : même volume.

2. 2

   Un pavé droit de dimensions 5 cm, 3 cm et 2 cm a un volume de 30 cm³. Si on double sa longueur et sa largeur, son volume devient 60 cm³.

   Faux

   Les nouvelles dimensions sont 10 cm et 6 cm : $10 \times 6 \times 2 = 120$ cm³. Doubler deux dimensions multiplie le volume par $2 \times 2 = 4$.

3. 3

   Un prisme droit a pour base un hexagone : il possède 18 arêtes.

   Vrai

   Chaque base a 6 arêtes. Les deux bases comptent donc 6 + 6 arêtes, et les 6 arêtes latérales relient leurs sommets correspondants : $6 + 6 + 6 = 18$. Euler le confirme : 8 faces et 12 sommets donnent $8 + 12 - 2 = 18$.

4. 4

   Un disque de rayon 4 cm a une aire deux fois plus grande que celle d'un disque de rayon 2 cm.

   Faux

   $\pi \times 4^2 = 16\pi$ et $\pi \times 2^2 = 4\pi$ : l'aire est multipliée par 4, comme le carré du rayon.

5. 5

   500 cm³ de sirop correspondent à un volume de 5 L.

   Faux

   500 cm³ = 500 mL, soit 0,5 L. Pour 5 L, il faudrait 5 000 cm³.

6. 6

   Le patron d'un cylindre de révolution de hauteur 5 cm est formé de deux disques et d'un rectangle dont l'un des côtés mesure 5 cm.

   Vrai

   Les deux disques sont les bases ; le rectangle, une fois enroulé, forme la surface latérale : l'un de ses côtés mesure la hauteur du cylindre, l'autre fait le tour du disque.

7. 7

   Le patron d'un pavé droit est formé de six rectangles qui ont chacun des dimensions différentes.

   Faux

   Les faces opposées d'un pavé droit sont égales : le patron contient donc trois paires de rectangles identiques, pas six rectangles différents.

8. 8

   Pour calculer le volume d'un cube, on peut multiplier l'aire de sa base par la longueur de son arête.

   Vrai

   La base du cube est un carré d'aire $c^2$ ; multiplier par la hauteur $c$ donne $c^2 \times c = c^3$ : la règle du prisme droit s'applique bien au cube.

9. 9

   Pour trouver le nombre de cubes d'un empilement, il suffit de compter les carrés visibles sur sa vue de dessus.

   Faux

   La vue de dessus ne donne pas la hauteur des colonnes de cubes : sans cette information, on ne peut pas dénombrer les cubes.

10. 10

    L'aire d'un disque de rayon 10 cm est supérieure à 300 cm².

    Vrai

    $\pi \times 10^2 = 100\pi$ ; avec $\pi \approx 3{,}14$, l'aire vaut environ 314 cm², donc bien plus que 300 cm².

11. 11

    Un prisme droit a pour base un triangle d'aire 6 cm² et pour hauteur 10 cm. Selon un élève, comme il a deux bases, son volume vaut $6 \times 10 \times 2 = 120$ cm³.

    Faux

    Le volume d'un prisme droit est l'aire d'une seule base multipliée par la hauteur : $6 \times 10 = 60$ cm³. La seconde base ne compte pas dans le calcul.

12. 12

    Un pavé droit mesure 4 cm de long, 3 cm de large et 1 cm de haut. Si on double seulement sa hauteur, son volume double.

    Vrai

    Avant : $4 \times 3 \times 1 = 12$ cm³ ; après : $4 \times 3 \times 2 = 24$ cm³. Comme le volume vaut l'aire de la base multipliée par la hauteur, doubler la hauteur double le volume.

13. 13

    Un cube de 1 m d'arête peut être construit avec 100 cubes de 1 dm d'arête.

    Faux

    1 m = 10 dm : chaque côté se remplit avec 10 cubes, donc $10 \times 10 \times 10 =$$1\,000$ petits cubes, soit 1 000 dm³.

14. 14

    Le cube et le cylindre de révolution sont deux solides de Platon.

    Faux

    Les solides de Platon sont des polyèdres réguliers et convexes, et ils sont exactement cinq. Le cylindre, dont les bases sont des disques, n'est pas un polyèdre.

15. 15

    Un cube d'arête 4 cm a un volume de 64 cm³, et chacune de ses faces a une aire de 64 cm².

    Faux

    Chaque face est un carré de côté 4 cm : son aire est $4 \times 4 = 16$ cm². Le volume, lui, vaut bien $4^3 = 64$ cm³.

16. 16

    Un cylindre de révolution a un rayon de 5 cm et une hauteur de 4 cm ; un autre a un rayon de 4 cm et une hauteur de 5 cm. Ces deux cylindres n'ont pas le même volume.

    Vrai

    Premier cylindre : $\pi \times 5^2 \times 4 = 100\pi$ cm³. Second : $\pi \times 4^2 \times 5 = 80\pi$ cm³. Le rayon est élevé au carré dans la formule : les volumes diffèrent.