Relatifs : opposés et enchaînements (5e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Quelle est la valeur de $-(5 - 8) - (-2)$ ?

   Réponse A : $5$

   Les parenthèses d'abord : $5 - 8 = -3$, puis l'opposé de $-3$ vaut $3$. Soustraire $-2$ revient à ajouter son opposé : $3 + 2 = 5$.

2. 2

   Quel nombre faut-il ajouter à $-7$ pour obtenir $3$ ?

   Réponse D : $10$

   Il faut aller de $-7$ à $3$ : c'est $3 - (-7)$. Soustraire $-7$ revient à ajouter $7$, donc $3 + 7 = 10$.

3. 3

   Quelle est la distance à zéro du résultat de $(-6) + 4$ ?

   Réponse B : $2$

   Les signes sont contraires : on calcule $6 - 4$ et on garde le signe de $-6$, le plus éloigné de zéro, soit $-2$. Sa distance à zéro vaut $2$.

4. 4

   Lequel de ces calculs donne un résultat positif ?

   Réponse D : $-0{,}9 - (-1{,}5)$

   Dans le dernier calcul, $-0{,}9 - (-1{,}5) =$$-0{,}9 + 1{,}5 =$$0{,}6$, qui est positif. Les trois autres résultats sont négatifs.

5. 5

   Un sous-marin est à $-45$ m par rapport à la surface de la mer. Il remonte de $20$ m, puis descend de $35$ m. Quelle est sa position finale ?

   Réponse D : $-60$ m

   Remonter de $20$ m revient à ajouter $20$ : $-45 + 20 = -25$. Descendre de $35$ m revient à ajouter $-35$ : $-25 - 35 = -60$.

6. 6

   Sans calculer, lequel est le plus grand : $(-7) + 2$ ou $(-7) - 2$ ?

   Réponse A : $(-7) + 2$

   Soustraire $2$ revient à ajouter $-2$ : on se déplace vers la gauche sur la droite graduée. $(-7) - 2$ est donc plus petit que $(-7) + 2$.

7. 7

   Quel est le résultat de $-2{,}4 +$$3{,}9 +$$(-0{,}7)$ ?

   Réponse C : $0{,}8$

   On calcule d'abord $-2{,}4 + 3{,}9$ (signes contraires, on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro), puis on ajoute $-0{,}7$ : le résultat est $0{,}8$.

8. 8

   Laquelle de ces écritures désigne la même somme que $(-2) - (+6) + (-1)$ ?

   Réponse C : $-2 - 6 - 1$

   $-(+6)$ s'écrit $-6$ et $+(-1)$ s'écrit $-1$ : $-2$ reste $-2$, $-(+6)$ devient $-6$ et $+(-1)$ devient $-1$, d'où $-2 - 6 - 1$.

9. 9

   Un élève affirme : « $-(-(-3))$ vaut $3$, car deux signes moins s'annulent. » Quelle réponse est juste ?

   Réponse B : Il a tort : il reste un signe moins après les deux premiers, donc le résultat est $-3$.

   $-(-3)$ vaut $3$ (opposé d'un opposé), puis $-(3)$ vaut $-3$ : un signe moins reste.

10. 10

    Un élève affirme : « La somme d'un nombre positif et d'un nombre négatif est toujours positive. » Quel exemple réfute cette affirmation ?

    Réponse C : $(-8) + 3$

    Dans $(-8) + 3$, le nombre négatif est plus éloigné de zéro que le positif : la somme est négative, donc l'affirmation est fausse.

11. 11

    Un élève affirme : « La différence de deux nombres négatifs est toujours négative. » Quel calcul réfute cette affirmation ?

    Réponse D : $(-4) - (-9)$

    Soustraire $-9$ revient à ajouter $9$ : $(-4) - (-9)$ devient $-4 + 9$, un nombre positif. L'affirmation est donc fausse.

12. 12

    Quel est le résultat de $-9 + 4 - (-6)$ ?

    Réponse D : $1$

    On calcule de gauche à droite : $-9 + 4 = -5$, puis soustraire $-6$ revient à ajouter $6$, soit $-5 + 6 = 1$.

13. 13

    Quelle est la distance à zéro de $3 - 10$ ?

    Réponse C : $7$

    $3 - 10$ vaut $-7$ : le résultat est négatif. Sa distance à zéro est $7$, car la distance à zéro ne garde que la valeur sans signe.

14. 14

    Quelle égalité est vraie ?

    Réponse A : $-(9 - 4) = 4 - 9$

    $-(9 - 4)$ est l'opposé de $5$, soit $-5$, et $4 - 9$ vaut aussi $-5$. Les trois autres écritures donnent $-13$ ou $13$.

15. 15

    Un élève écrit $-5 - (-5) = -10$. Quelle est son erreur ?

    Réponse A : Il a ajouté $-5$ au lieu de son opposé $5$ : le bon résultat est $0$.

    Soustraire $-5$ revient à ajouter $5$ : $-5 - (-5) =$$-5 + 5 =$$0$. L'élève a ajouté le nombre négatif au lieu de son opposé.

16. 16

    Pour calculer $(-3) + 4 + (-5)$, un élève commence par $4 + (-5)$. Est-ce permis, et pourquoi ?

    Réponse C : Oui : on peut changer l'ordre des termes d'une somme sans changer son résultat.

    Dans une somme, on peut changer l'ordre des termes sans changer le résultat : par exemple regrouper $4 + (-5)$, puis ajouter $-3$.