Cercles et disques : à toi de raisonner

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Le point $M$ est à 1 cm du point $O$ et le point $N$ est à 2 cm de $O$. Quel disque de centre $O$ contient $M$ mais pas $N$ ?

   Réponse C : Le disque de rayon 1,5 cm

   Il faut un rayon $r$ avec $1 \leq r$ et $r < 2$ : le rayon de 1,5 cm convient. Les disques de rayon 2 cm et 3 cm contiennent aussi $N$.

2. 2

   Deux disques de même centre $O$ ont des rayons de 4 cm et de 9 cm. Le point $M$ est tel que $OM = 6$ cm. Où se trouve $M$ ?

   Réponse A : Dans le disque de rayon 9 cm seulement

   On compare 6 aux deux rayons : $6 > 4$, donc $M$ est hors du petit disque ; $6 \leq 9$, donc $M$ est dans le grand disque.

3. 3

   Dans un cercle de rayon 6 cm, Nadia trace des cordes. Quelle affirmation est juste ?

   Réponse D : On peut en tracer une infinité, et aucune ne dépasse 12 cm

   Un cercle possède une infinité de cordes, et la plus longue est le diamètre : $2 \times 6 = 12$ cm. Aucune corde ne peut dépasser 12 cm.

4. 4

   On trace un cercle de centre $O$ et de rayon 3 cm, puis le disque de même centre et de même rayon. Le point $O$ appartient-il à ces deux ensembles ?

   Réponse C : Au disque seulement

   La distance de $O$ à lui-même vaut 0 cm : ce n'est pas 3 cm, donc $O$ n'est pas sur le cercle ; mais $0 \leq 3$, donc $O$ est dans le disque.

5. 5

   Dans un cercle de centre $O$ et de rayon 4 cm, $A$ et $B$ sont deux points du cercle et $OA = OB = 4$ cm. Léa affirme que $[AB]$ est forcément un diamètre. Qu'en penser ?

   Réponse C : Elle a tort : il faudrait aussi que $O$ soit le milieu de $[AB]$

   $OA = OB$ montre seulement que $A$ et $B$ sont sur le cercle. $[AB]$ n'est un diamètre que si $O$ est le milieu de $[AB]$, ce qui n'est pas garanti.

6. 6

   Un disque de centre $O$ a un rayon de 2 cm. Parmi le centre $O$ lui-même et le point $M$ tel que $OM = 2$ cm, lesquels appartiennent à ce disque ?

   Réponse D : Les deux

   $OO = 0 \leq 2$, donc $O$ appartient au disque ; $OM = 2 \leq 2$, donc $M$ aussi, et il est même sur le cercle qui borde le disque.

7. 7

   Un cercle de centre $O$ a un rayon de 5 cm. Ses points appartiennent-ils au disque de centre $O$ et de rayon 8 cm ? Et à celui de rayon 3 cm ?

   Réponse B : Au disque de rayon 8 cm seulement

   Chaque point du cercle est à 5 cm de $O$ : comme $5 \leq 8$, il est dans le grand disque ; comme $5 > 3$, il est hors du petit.

8. 8

   Avec un écartement de 5 cm, Léa trace un cercle au compas. Elle veut tracer un nouveau cercle dont le diamètre est le double de celui du premier. Quel écartement doit-elle choisir ?

   Réponse C : Un écartement de 10 cm

   Le premier cercle a un diamètre de $2 \times 5 = 10$ cm ; le double est 20 cm, soit un rayon de 10 cm. L'écartement du compas correspond au rayon.

9. 9

   Un segment relie le centre d'un cercle à un point de ce cercle et mesure 40 mm. Quel est le diamètre de ce cercle ?

   Réponse B : 8 cm

   $40$ mm $= 4$ cm : ce segment est un rayon. Le diamètre est le double du rayon : $2 \times 4 = 8$ cm.

10. 10

    Dans un cercle de centre $O$, $[AB]$ et $[EF]$ sont deux diamètres et $AB = 9$ cm. Le point $M$ est le milieu de $[EF]$. Que vaut $OM$ ?

    Réponse C : 0 cm

    Tous les diamètres d'un même cercle ont la même longueur, donc $EF = 9$ cm. Mais le centre $O$ est le milieu de chaque diamètre : le milieu de $[EF]$ est donc $O$ lui-même, et $OM = 0$ cm.

11. 11

    Un disque de centre $O$ a un rayon de 3 cm. Quatre points sont placés : $P$ à 1 cm de $O$, $Q$ à 2,8 cm, $R$ à 3,2 cm et $S$ à 3 cm. Lesquels appartiennent au disque ?

    Réponse B : $P$, $Q$ et $S$

    On compare chaque distance à 3 : $1 \leq 3$, $2{,}8 \leq 3$ et $3 \leq 3$, donc $P$, $Q$ et $S$ sont dans le disque ; $3{,}2 > 3$, donc $R$ est dehors.

12. 12

    Une borne wifi posée au point $O$ couvre tous les points situés à 8 m d'elle ou moins. Léa se trouve à 75 dm de la borne. Est-elle dans la zone couverte ?

    Réponse A : Oui, car 75 dm = 7,5 m et 7,5 ≤ 8

    On convertit : 75 dm $= 7{,}5$ m. Comme $7{,}5 \leq 8$, Léa est à une distance inférieure ou égale à 8 m : elle est couverte.

13. 13

    Deux cercles de même centre $O$ ont des rayons de 3 cm et de 7 cm. Lequel de ces points appartient aux deux cercles à la fois ?

    Réponse D : Aucun de ces points

    Il faudrait être à la fois à 3 cm et à 7 cm de $O$, ce qui est impossible : deux cercles de même centre et de rayons différents n'ont aucun point commun.

14. 14

    Dans un cercle de rayon 5 cm, Tom trace une corde de 12 cm. Où est son erreur ?

    Réponse B : Une corde ne peut pas être plus longue que le diamètre, qui mesure ici 10 cm

    Le diamètre vaut $2 \times 5 = 10$ cm et c'est la plus longue des cordes. Comme $12 > 10$, une telle corde est impossible.

15. 15

    Un cercle a un diamètre de 140 mm. Peut-on y tracer une corde de 12 cm ?

    Réponse A : Oui, car 140 mm = 14 cm et 12 cm < 14 cm

    On convertit : 140 mm $= 14$ cm, c'est le diamètre, la plus longue corde possible. Comme $12 < 14$, la corde de 12 cm est possible.

16. 16

    Un rond-point est modélisé par un disque de centre $O$ et de rayon 5 m. Une fourmi marche exactement sur le cercle qui borde ce disque. Que vaut sa distance à $O$, et où est-elle par rapport au disque ?

    Réponse B : 5 m, et elle appartient au disque

    Sur le cercle, la fourmi est à 5 m de $O$. Comme $5 \leq 5$, elle appartient au disque : le cercle est le contour du disque.

17. 17

    $O$ est le milieu d'un segment $[AB]$, avec $OA = 4$ cm. On considère le cercle de centre $O$ et de rayon 4 cm. Où se trouve le point $B$ et que vaut $AB$ ?

    Réponse D : B appartient au cercle et $AB$ mesure 8 cm

    Comme $O$ est le milieu de $[AB]$, on a $OB = OA = 4$ cm : $B$ est à 4 cm de $O$, donc sur le cercle. Et $AB = 2 \times 4 = 8$ cm.