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Représenter l’espace : analyser (3e)

QCM · 18 questions Difficile · Mathématiques · Publié le

Chapitre : Représenter l'espace (3e) ›

Programme de référence : Attendus de fin d'année en mathématiques de 3e, ressource Éduscol (programme du BO n° 31 du 30 juillet 2020)

Le chapitre « Représenter l’espace » du programme de 3e part d’un objet familier : la Terre, assimilée à une sphère, que l’on repère avec une latitude et une longitude. Il conduit ensuite à représenter les solides étudiés au collège (pavé droit, cube, prisme, cylindre) par leurs vues, leurs coupes, leurs patrons et leurs sections planes. Ce quiz demande de raisonner plutôt que de réciter : relier des définitions, comparer des situations, repérer pourquoi une affirmation est juste ou fausse. Pour chaque question, une seule réponse est correcte ; les autres correspondent à des erreurs fréquentes. Les corrections expliquent le raisonnement en quelques mots.

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Représenter l’espace : analyser (3e)

Une seule bonne réponse par question. La correction et l’explication s’affichent aussitôt.

18 questions

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  1. Question 1 / 18

    Un point A a une latitude de 35° Nord et un point B une latitude de 35° Sud. Ils ont la même longitude. Pourquoi ne sont-ils pas au même endroit ?

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Astuce : touches 1–4 ou A–D pour répondre.

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Comment jouer

  • Quatre propositions, une seule bonne réponse.
  • La correction et l’explication s’affichent après chaque réponse.
  • Touches 1 à 4 ou A à D au clavier. Affichage « Une par une » ou « Toutes ».
  • Mode « Libre » : pas de limite de temps, record enregistré à part.

Réponses et explications

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La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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  1. Un point A a une latitude de 35° Nord et un point B une latitude de 35° Sud. Ils ont la même longitude. Pourquoi ne sont-ils pas au même endroit ?

    Réponse C : Ils sont de part et d’autre de l’équateur, à la même distance de celui-ci.

    La latitude Nord ou Sud indique de quel côté de l’équateur se trouve le point : A et B, à 35° de part et d’autre, sont deux points différents.

  2. Les méridiens de 30° Est et de 30° Ouest forment-ils ensemble un grand cercle ? Pourquoi ?

    Réponse B : Non, car leurs longitudes ne diffèrent que de 60°, et non de 180°, comme le demande un grand cercle.

    Un grand cercle réunit un méridien et son opposé, dont les longitudes diffèrent de 180° : ici l’écart est 30∘+30∘=60∘30^\circ + 30^\circ = 60^\circ.

  3. Une sphère de centre O a pour rayon 5 cm. Un plan coupe cette sphère ; sa distance au centre O est de 3 cm. Quel est le rayon du cercle obtenu ?

    Réponse D : 4 cm

    Le rayon du cercle est un côté d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 5 cm : 52−32=\sqrt{5^2-3^2}=16=\sqrt{16}=44 cm.

  4. Quel parallèle a le plus grand rayon : celui de 30° Nord ou celui de 60° Nord ?

    Réponse A : Celui de 30° Nord, car il est plus proche de l’équateur, qui est le plus grand des parallèles.

    Plus un parallèle s’éloigne de l’équateur, plus il est petit : l’équateur, qui est un grand cercle, est le plus grand des parallèles.

  5. Un solide a pour vue de face un triangle et pour vue de dessus un rectangle. Lequel de ces solides peut-il être, posé sur une table ?

    Réponse D : Un prisme droit à base triangulaire, posé sur l’une de ses faces rectangulaires.

    La vue de face montre la base triangulaire du prisme, et la vue de dessus son rectangle : il est couché sur une face rectangulaire.

  6. Un pavé droit a pour dimensions 2 cm, 3 cm et 5 cm. Combien de ses faces ont une aire de 6 cm² ?

    Réponse B : Deux faces

    Les faces opposées sont égales : leurs aires valent 2×3=62\times 3=6, 2×5=102\times 5=10 et 3×5=153\times 5=15 cm², donc deux faces ont 6 cm².

  7. Un plan coupe une sphère de rayon 5 cm, et le cercle obtenu a aussi pour rayon 5 cm. À quelle distance du centre O se trouve ce plan ?

    Réponse C : 0 cm

    Le plan contient alors le centre O : avec Pythagore, la distance dd vérifie d2=52−52=0d^2=5^2-5^2=0, donc d=0d=0 cm.

  8. Un navire est à 33,9° de latitude Sud. Sa latitude augmente de 50°, puis diminue de 20°. Quelle est sa latitude finale ?

    Réponse A : 3,9° Sud

    Avec Nord positif et Sud négatif : −33,9+50=16,1-33{,}9+50=16{,}1, puis 16,1−20=−3,916{,}1-20=-3{,}9, soit 3,9∘3{,}9^\circ Sud.

  9. Un bateau se trouve à 170° de longitude Est et se déplace vers l’Est de 20°, sans changer de latitude. Quelle est sa nouvelle longitude ?

    Réponse D : 170° Ouest

    Une longitude ne dépasse pas 180° : au-delà, on compte en Ouest, et 360∘−190∘=170∘360^\circ-190^\circ=170^\circ Ouest.

  10. Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm ; sa longueur est de 10 cm. Quelle est l’aire totale de son patron ?

    Réponse D : 132 cm²

    Les 2 triangles, d’aire 3×42=6\frac{3\times 4}{2}=6 cm² chacun, font 12 cm² ; les 3 rectangles (de largeur 3, 4 et 5 cm, sur 10 cm) font 120 cm² : total 132 cm².

  11. Sur un dessin en perspective cavalière, la face avant d’un pavé droit est un rectangle de 6 cm sur 4 cm, représentée en vraie grandeur. Quelle est l’aire réelle de sa face arrière ?

    Réponse B : 24 cm²

    Les faces opposées sont égales et parallèles à la face avant : la face arrière mesure aussi 6 cm sur 4 cm, soit 6×4=246\times 4=24 cm².

  12. On trace un méridien tous les 30° de longitude, en partant de celui de Greenwich, pour faire le tour complet de la Terre. En associant chaque méridien à son opposé, combien de grands cercles obtient-on ?

    Réponse C : 6

    Il y a 36030=12\frac{360}{30}=12 méridiens ; deux méridiens opposés forment un grand cercle, donc 122=6\frac{12}{2}=6 grands cercles.

  13. Un pavé droit a pour dimensions 3 cm, 4 cm et 6 cm. Quelle est l’aire totale de son patron ?

    Réponse A : 108 cm²

    Le patron compte deux rectangles de chaque sorte : 2×2\times(3×(3\times4+4+3×3\times6+6+4×4\times6)=6)=2×54=2\times 54=108108 cm².

  14. Un élève découpe six carrés identiques et les aligne en une bande, côte à côte. Peut-il replier cette bande pour fabriquer un cube ?

    Réponse C : Non, car une bande de six carrés alignés ne se replie pas en cube.

    Un patron de cube est un assemblage de six carrés qui se replie sans chevauchement ; une bande alignée s’enroule en tube et ne ferme pas le cube.

  15. Un cylindre de révolution a un rayon de 2 cm et une hauteur de 10 cm. Un plan parallèle à son axe passe par cet axe. Quelle est l’aire de la section obtenue ?

    Réponse A : 40 cm²

    Le plan passe par l’axe : la section est un rectangle de largeur le diamètre 2×2=42\times 2=4 cm et de longueur 10 cm, soit 4×10=404\times 10=40 cm².

  16. Deux cubes identiques d’arête 3 cm sont posés côte à côte sur une table, en se touchant par une face entière. Quelle est la vue de dessus de l’ensemble ?

    Réponse C : Un rectangle de 6 cm sur 3 cm

    Vus d’en haut, les deux carrés de 3 cm se suivent sans écart : ils forment un rectangle de 3+3=63+3=6 cm sur 3 cm.

  17. Un plan coupe une sphère de centre O. Plus ce plan s’éloigne du point O, comment varie le rayon du cercle obtenu ?

    Réponse D : Il diminue, car le rayon du cercle est un côté du triangle rectangle dont l’hypoténuse est le rayon de la sphère.

    Le rayon du cercle et la distance de O au plan sont les côtés de l’angle droit ; l’hypoténuse, rayon de la sphère, est fixe : si la distance augmente, le cercle rétrécit.

  18. Un pavé droit a pour base un carré de 4 cm de côté et une hauteur de 6 cm ; il est posé sur sa base. Quelles sont sa vue de face et sa vue de dessus ?

    Réponse A : Vue de face : rectangle de 4 cm sur 6 cm ; vue de dessus : carré de 4 cm de côté.

    Vu de face, le pavé montre sa largeur de 4 cm et sa hauteur de 6 cm : un rectangle. Vu de dessus, il montre sa base carrée de 4 cm.

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Questions

  1. 1

    Un point A a une latitude de 35° Nord et un point B une latitude de 35° Sud. Ils ont la même longitude. Pourquoi ne sont-ils pas au même endroit ?

    • AIls ont la même valeur de latitude, donc ils sont sur le même parallèle.
    • BIls sont à la même distance des deux pôles, ce qui les place au même endroit.
    • CIls sont de part et d’autre de l’équateur, à la même distance de celui-ci.
    • DIls ne sont pas sur le même méridien, car leurs latitudes sont de signes opposés.
  2. 2

    Les méridiens de 30° Est et de 30° Ouest forment-ils ensemble un grand cercle ? Pourquoi ?

    • AOui, car ils sont symétriques par rapport au méridien de Greenwich.
    • BNon, car leurs longitudes ne diffèrent que de 60°, et non de 180°, comme le demande un grand cercle.
    • COui, car ce sont deux demi-grands cercles qui joignent les deux pôles.
    • DNon, car un grand cercle ne passe jamais par les pôles.
  3. 3

    Une sphère de centre O a pour rayon 5 cm. Un plan coupe cette sphère ; sa distance au centre O est de 3 cm. Quel est le rayon du cercle obtenu ?

    • A2 cm
    • B5 cm
    • C8 cm
    • D4 cm
  4. 4

    Quel parallèle a le plus grand rayon : celui de 30° Nord ou celui de 60° Nord ?

    • ACelui de 30° Nord, car il est plus proche de l’équateur, qui est le plus grand des parallèles.
    • BCelui de 60° Nord, car il est plus proche du pôle Nord, le point le plus haut de la sphère.
    • CLes deux ont le même rayon, car ce sont des cercles tracés sur la même sphère.
    • DCelui de 60° Nord, car plus la latitude est grande, plus le cercle est grand.
  5. 5

    Un solide a pour vue de face un triangle et pour vue de dessus un rectangle. Lequel de ces solides peut-il être, posé sur une table ?

    • AUn cube, posé sur l’une de ses faces.
    • BUn pavé droit, posé sur l’une de ses faces.
    • CUn prisme droit à base triangulaire, posé sur sa base triangulaire.
    • DUn prisme droit à base triangulaire, posé sur l’une de ses faces rectangulaires.
  6. 6

    Un pavé droit a pour dimensions 2 cm, 3 cm et 5 cm. Combien de ses faces ont une aire de 6 cm² ?

    • AUne seule face
    • BDeux faces
    • CTrois faces
    • DLes six faces
  7. 7

    Un plan coupe une sphère de rayon 5 cm, et le cercle obtenu a aussi pour rayon 5 cm. À quelle distance du centre O se trouve ce plan ?

    • A2,5 cm
    • B5 cm
    • C0 cm
    • D10 cm
  8. 8

    Un navire est à 33,9° de latitude Sud. Sa latitude augmente de 50°, puis diminue de 20°. Quelle est sa latitude finale ?

    • A3,9° Sud
    • B3,9° Nord
    • C16,1° Nord
    • D63,9° Nord
  9. 9

    Un bateau se trouve à 170° de longitude Est et se déplace vers l’Est de 20°, sans changer de latitude. Quelle est sa nouvelle longitude ?

    • A190° Est
    • B150° Est
    • C10° Est
    • D170° Ouest
  10. 10

    Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm ; sa longueur est de 10 cm. Quelle est l’aire totale de son patron ?

    • A12 cm²
    • B120 cm²
    • C144 cm²
    • D132 cm²
  11. 11

    Sur un dessin en perspective cavalière, la face avant d’un pavé droit est un rectangle de 6 cm sur 4 cm, représentée en vraie grandeur. Quelle est l’aire réelle de sa face arrière ?

    • A10 cm²
    • B24 cm²
    • C20 cm
    • D12 cm²
  12. 12

    On trace un méridien tous les 30° de longitude, en partant de celui de Greenwich, pour faire le tour complet de la Terre. En associant chaque méridien à son opposé, combien de grands cercles obtient-on ?

    • A3
    • B12
    • C6
    • D24
  13. 13

    Un pavé droit a pour dimensions 3 cm, 4 cm et 6 cm. Quelle est l’aire totale de son patron ?

    • A108 cm²
    • B54 cm²
    • C72 cm³
    • D216 cm²
  14. 14

    Un élève découpe six carrés identiques et les aligne en une bande, côte à côte. Peut-il replier cette bande pour fabriquer un cube ?

    • AOui, car il a six carrés identiques, un par face du cube.
    • BNon, car il manque un septième carré pour fermer le cube.
    • CNon, car une bande de six carrés alignés ne se replie pas en cube.
    • DOui, car chaque carré se plie le long de son côté commun avec le suivant.
  15. 15

    Un cylindre de révolution a un rayon de 2 cm et une hauteur de 10 cm. Un plan parallèle à son axe passe par cet axe. Quelle est l’aire de la section obtenue ?

    • A40 cm²
    • B20 cm²
    • C28 cm
    • D80 cm²
  16. 16

    Deux cubes identiques d’arête 3 cm sont posés côte à côte sur une table, en se touchant par une face entière. Quelle est la vue de dessus de l’ensemble ?

    • ADeux carrés de 3 cm, séparés
    • BUn carré de 3 cm de côté
    • CUn rectangle de 6 cm sur 3 cm
    • DUn carré de 6 cm de côté
  17. 17

    Un plan coupe une sphère de centre O. Plus ce plan s’éloigne du point O, comment varie le rayon du cercle obtenu ?

    • AIl augmente, car le plan est plus éloigné du centre.
    • BIl reste le même, car le cercle est toujours tracé sur la sphère.
    • CIl devient toujours égal au rayon de la sphère.
    • DIl diminue, car le rayon du cercle est un côté du triangle rectangle dont l’hypoténuse est le rayon de la sphère.
  18. 18

    Un pavé droit a pour base un carré de 4 cm de côté et une hauteur de 6 cm ; il est posé sur sa base. Quelles sont sa vue de face et sa vue de dessus ?

    • AVue de face : rectangle de 4 cm sur 6 cm ; vue de dessus : carré de 4 cm de côté.
    • BVue de face : carré de 4 cm de côté ; vue de dessus : rectangle de 4 cm sur 6 cm.
    • CVue de face et vue de dessus : deux carrés de 4 cm de côté.
    • DVue de face : triangle ; vue de dessus : carré de 4 cm de côté.

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Corrigé et explications

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La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

  1. 1

    C · Ils sont de part et d’autre de l’équateur, à la même distance de celui-ci.

    La latitude Nord ou Sud indique de quel côté de l’équateur se trouve le point : A et B, à 35° de part et d’autre, sont deux points différents.

  2. 2

    B · Non, car leurs longitudes ne diffèrent que de 60°, et non de 180°, comme le demande un grand cercle.

    Un grand cercle réunit un méridien et son opposé, dont les longitudes diffèrent de 180° : ici l’écart est 30∘+30∘=60∘30^\circ + 30^\circ = 60^\circ.

  3. 3

    D · 4 cm

    Le rayon du cercle est un côté d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 5 cm : 52−32=\sqrt{5^2-3^2}=16=\sqrt{16}=44 cm.

  4. 4

    A · Celui de 30° Nord, car il est plus proche de l’équateur, qui est le plus grand des parallèles.

    Plus un parallèle s’éloigne de l’équateur, plus il est petit : l’équateur, qui est un grand cercle, est le plus grand des parallèles.

  5. 5

    D · Un prisme droit à base triangulaire, posé sur l’une de ses faces rectangulaires.

    La vue de face montre la base triangulaire du prisme, et la vue de dessus son rectangle : il est couché sur une face rectangulaire.

  6. 6

    B · Deux faces

    Les faces opposées sont égales : leurs aires valent 2×3=62\times 3=6, 2×5=102\times 5=10 et 3×5=153\times 5=15 cm², donc deux faces ont 6 cm².

  7. 7

    C · 0 cm

    Le plan contient alors le centre O : avec Pythagore, la distance dd vérifie d2=52−52=0d^2=5^2-5^2=0, donc d=0d=0 cm.

  8. 8

    A · 3,9° Sud

    Avec Nord positif et Sud négatif : −33,9+50=16,1-33{,}9+50=16{,}1, puis 16,1−20=−3,916{,}1-20=-3{,}9, soit 3,9∘3{,}9^\circ Sud.

  9. 9

    D · 170° Ouest

    Une longitude ne dépasse pas 180° : au-delà, on compte en Ouest, et 360∘−190∘=170∘360^\circ-190^\circ=170^\circ Ouest.

  10. 10

    D · 132 cm²

    Les 2 triangles, d’aire 3×42=6\frac{3\times 4}{2}=6 cm² chacun, font 12 cm² ; les 3 rectangles (de largeur 3, 4 et 5 cm, sur 10 cm) font 120 cm² : total 132 cm².

  11. 11

    B · 24 cm²

    Les faces opposées sont égales et parallèles à la face avant : la face arrière mesure aussi 6 cm sur 4 cm, soit 6×4=246\times 4=24 cm².

  12. 12

    C · 6

    Il y a 36030=12\frac{360}{30}=12 méridiens ; deux méridiens opposés forment un grand cercle, donc 122=6\frac{12}{2}=6 grands cercles.

  13. 13

    A · 108 cm²

    Le patron compte deux rectangles de chaque sorte : 2×2\times(3×(3\times4+4+3×3\times6+6+4×4\times6)=6)=2×54=2\times 54=108108 cm².

  14. 14

    C · Non, car une bande de six carrés alignés ne se replie pas en cube.

    Un patron de cube est un assemblage de six carrés qui se replie sans chevauchement ; une bande alignée s’enroule en tube et ne ferme pas le cube.

  15. 15

    A · 40 cm²

    Le plan passe par l’axe : la section est un rectangle de largeur le diamètre 2×2=42\times 2=4 cm et de longueur 10 cm, soit 4×10=404\times 10=40 cm².

  16. 16

    C · Un rectangle de 6 cm sur 3 cm

    Vus d’en haut, les deux carrés de 3 cm se suivent sans écart : ils forment un rectangle de 3+3=63+3=6 cm sur 3 cm.

  17. 17

    D · Il diminue, car le rayon du cercle est un côté du triangle rectangle dont l’hypoténuse est le rayon de la sphère.

    Le rayon du cercle et la distance de O au plan sont les côtés de l’angle droit ; l’hypoténuse, rayon de la sphère, est fixe : si la distance augmente, le cercle rétrécit.

  18. 18

    A · Vue de face : rectangle de 4 cm sur 6 cm ; vue de dessus : carré de 4 cm de côté.

    Vu de face, le pavé montre sa largeur de 4 cm et sa hauteur de 6 cm : un rectangle. Vu de dessus, il montre sa base carrée de 4 cm.

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