Raisonner en géométrie plane (3e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Dans une configuration papillon, le point $A$ est entre $B$ et $D$, et entre $C$ et $E$. On donne $AB=3$ cm, $AD=7{,}5$ cm et $AC=4$ cm. Quelle longueur $AE$ permet de conclure, par la réciproque de Thalès, que $(BC)\parallel(DE)$ ?

   Réponse C : 10 cm

   Il faut $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$, donc $AE=$$\frac{AC \times AD}{AB}=$$\frac{4 \times 7{,}5}{3}=$$10$ cm.

2. 2

   Un point $M$ est tel que $OM=6$ cm, où $O$ est un point fixe. On applique à $M$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-0{,}5$, puis à l'image obtenue l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$. Où se trouve le point final, par rapport à $O$ ?

   Réponse D : à 9 cm de O, du côté opposé à M par rapport à O

   Le premier rapport $-0{,}5$ donne $OM'=3$ cm, de l'autre côté de O. Le rapport 3 donne ensuite $3 \times 3=9$ cm, du côté de $M'$, donc opposé à $M$.

3. 3

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on sait que $\sin\widehat{B}=0{,}6$. Quelle est la valeur de $\cos\widehat{C}$ ?

   Réponse A : 0,6

   Le côté $AC$ est opposé à $\widehat{B}$ et adjacent à $\widehat{C}$ : $\cos\widehat{C}=$$\frac{AC}{BC}=$$\sin\widehat{B}=$$0{,}6$.

4. 4

   Sur une feuille, un point $M$ est situé à droite du centre $O$. Il subit une rotation de centre $O$ et d'angle $90^\circ$, dans le sens positif. Où se trouve son image $M'$ ?

   Réponse B : au-dessus de O, à la même distance de O

   La rotation conserve la distance au centre : $OM'=OM$. Dans le sens positif (inverse des aiguilles d'une montre), un quart de tour amène un point situé à droite vers le haut.

5. 5

   Une rosace est formée de 6 motifs identiques répartis régulièrement autour d'un centre $O$ ; sa plus petite rotation non nulle qui la laisse inchangée mesure $60^\circ$. Une élève affirme qu'elle reste identique à elle-même après une rotation de centre $O$ et d'angle $90^\circ$. Qu'en pense-t-on ?

   Réponse D : Elle a tort : l'angle doit être un multiple de $60^\circ$, et $90^\circ$ n'en est pas un

   Les motifs se superposent après des rotations multiples de $\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$. Comme $90^\circ$ n'est pas multiple de $60^\circ$, la rosace ne revient pas sur elle-même.

6. 6

   Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm. Un triangle semblable a un côté de 20 cm, qui correspond au côté de 10 cm du premier. Quelles sont les longueurs des deux autres côtés du second triangle ?

   Réponse B : 12 cm et 16 cm

   Le côté de 20 cm correspond à 10 cm : le rapport vaut $\frac{20}{10}=2$. Les deux autres côtés sont donc $6 \times 2=12$ cm et $8 \times 2=16$ cm.

7. 7

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on connaît $BC$ et l'angle $\widehat{B}$, et l'on veut calculer $AB$. Un élève écrit $\sin\widehat{B}=$$\frac{AB}{BC}$. Quelle est son erreur ?

   Réponse C : $AB$ est le côté adjacent à $\widehat{B}$ : il faut le cosinus, $\cos\widehat{B}=$$\frac{AB}{BC}$

   Le côté $AB$ est adjacent à $\widehat{B}$ et relié à l'hypoténuse $BC$ : c'est le cosinus qu'il faut utiliser, et non le sinus.

8. 8

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on donne $AB=8$ cm, $AC=6$ cm et $BC=10$ cm. Un élève affirme que $\tan\widehat{C}=\frac{3}{4}$. Quelle est la valeur exacte de $\tan\widehat{C}$ ?

   Réponse A : $\frac{4}{3}$

   Pour $\widehat{C}$, le côté opposé est $AB=8$ cm et l'adjacent est $AC=6$ cm : $\tan\widehat{C}=$$\frac{8}{6}=$$\frac{4}{3}$. La valeur $\frac{3}{4}$ est celle de $\tan\widehat{B}$.

9. 9

   On compare une rotation et une homothétie de centre $O$ et de rapport $-3$, appliquées à un triangle. Laquelle des affirmations est vraie ?

   Réponse B : La rotation conserve les longueurs, et l'homothétie multiplie les longueurs par 3 et les aires par 9

   Une homothétie multiplie les longueurs par $|k|=3$ et les aires par $k^2=9$ : le signe négatif place seulement l'image de l'autre côté du centre.

10. 10

    Une élève décrit une bande où un même motif se répète à intervalles réguliers, toujours dans la même orientation. Elle affirme : « c'est une rosace, car les motifs tournent autour d'un centre. » Quelle est son erreur ?

    Réponse C : Une frise reproduit un motif par translation le long d'une bande ; une rosace le fait tourner autour d'un centre

    Dans une frise, chaque motif se déduit du précédent par translation le long de la bande. Une rosace est invariante par rotation autour d'un centre commun.

11. 11

    Un triangle a pour côtés 5 cm, 6 cm et 7 cm. Un second triangle a pour côtés 10 cm, 12 cm et 13 cm. Que peut-on affirmer ?

    Réponse A : Ils ne sont pas semblables : $\frac{10}{5}=\frac{12}{6}=2$, mais $\frac{13}{7}\neq 2$

    Deux triangles semblables ont leurs côtés correspondants dans le même rapport : ici les deux premiers rapports valent 2, mais $\frac{13}{7}\neq 2$.

12. 12

    Dans une configuration papillon avec $(BC)\parallel(DE)$, on a $AB=4$ cm, $AD=6$ cm et $BC=8$ cm. Quelle est la longueur $DE$ ?

    Réponse D : 12 cm

    Thalès donne $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$, donc $DE=$$\frac{BC \times AD}{AB}=$$\frac{8 \times 6}{4}=$$12$ cm.

13. 13

    Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{B}$, pourquoi $\tan\widehat{B}$ est-il toujours supérieur à $\sin\widehat{B}$ ?

    Réponse B : Le côté adjacent est plus court que l'hypoténuse, donc la tangente, de dénominateur plus petit, est plus grande

    Les deux quotients ont le même numérateur, le côté opposé. Le côté adjacent est plus court que l'hypoténuse, donc le dénominateur de la tangente est plus petit : elle est plus grande.

14. 14

    Un segment $[MN]$ mesure 3 cm. On lui applique une homothétie de rapport $2$, puis une rotation d'angle $60^\circ$. Quelle est la longueur de l'image finale du segment ?

    Réponse A : 6 cm

    L'homothétie de rapport 2 multiplie la longueur par 2 : $3 \times 2=6$ cm. La rotation conserve les longueurs, donc l'image finale mesure toujours 6 cm.

15. 15

    Une homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$ transforme $M$ en $M'$, avec $OM=3$ cm. Quelle affirmation est vraie ?

    Réponse D : $O$ est entre $M$ et $M'$, avec $OM'=6$ cm et $MM'=9$ cm

    Le rapport négatif place $M'$ de l'autre côté de $O$, avec $OM'=2 \times 3=6$ cm. Comme $O$ est entre $M$ et $M'$, on a $MM'=3+6=9$ cm.

16. 16

    Dans une configuration papillon avec $(BC)\parallel(DE)$, on donne $AB=4$ cm et $AD=10$ cm. Le triangle $ADE$ a une aire de 50 cm². Quelle est l'aire du triangle $ABC$ ?

    Réponse C : 8 cm²

    $ABC$ est l'image de $ADE$ par une homothétie de rapport $-0{,}4$ : l'aire est multipliée par $0{,}4^2=0{,}16$, donc $50 \times 0{,}16=8$ cm².

17. 17

    Un triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par une homothétie de rapport $-2$. Le périmètre de $A'B'C'$ vaut 30 cm. Quel est le périmètre de $ABC$ ?

    Réponse D : 15 cm

    Le périmètre est une somme de longueurs, qu'une homothétie multiplie par $|k|$. $ABC$ est l'image de $A'B'C'$ par le rapport $-\frac{1}{2}$, donc $30 \times \frac{1}{2}=15$ cm.

18. 18

    Un élève veut démontrer que $(BC)\parallel(DE)$. Il constate que $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$. Ici $A$ est entre $B$ et $D$, mais $C$ et $E$ sont du même côté de $A$. Peut-il conclure ?

    Réponse C : Non : les points ne sont pas alignés dans le même ordre, donc la réciproque de Thalès ne s'applique pas

    La réciproque de Thalès demande que les points soient alignés dans le même ordre : ici $A$ est entre $B$ et $D$, mais $C$ et $E$ sont du même côté de $A$. Les longueurs seules ne suffisent pas.