Parallélogrammes : du raisonnement (5e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Dans un parallélogramme, un angle mesure 100°. Tom affirme : « L'angle opposé mesure 80°, car deux angles d'un parallélogramme ont une somme de 180°. » Quelle est son erreur ?

   Réponse B : Il confond angle opposé et angle consécutif : l'angle opposé mesure 100°, c'est l'angle consécutif qui mesure 80°

   Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure ; seuls deux angles consécutifs ont pour somme 180°.

2. 2

   Un menuisier a assemblé un cadre en forme de parallélogramme. Sans mesurer ses quatre angles, quel contrôle suffit pour affirmer que le cadre est un rectangle ?

   Réponse C : Contrôler un seul angle à l'équerre : s'il est droit, le cadre est un rectangle

   Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit ; les trois autres angles sont alors droits eux aussi.

3. 3

   Zoé trace deux segments de même milieu, chacun de 5 cm, puis relie leurs quatre extrémités pour former un quadrilatère. Que peut-elle affirmer de la figure obtenue ?

   Réponse D : C'est un rectangle, car ses diagonales sont égales et se coupent en leur milieu

   Deux segments de même milieu sont les diagonales d'un parallélogramme ; s'ils ont la même longueur, ses diagonales sont égales : c'est un rectangle, pas forcément un carré.

4. 4

   Léo affirme : « 1 m² = 100 cm², puisqu'il y a 100 cm dans 1 m. » Quelle est son erreur ?

   Réponse C : Il raisonne comme sur une longueur : il faut convertir les deux côtés, 100 cm × 100 cm = 10 000 cm²

   $1\text{ m} = 100\text{ cm}$, donc $1\text{ m}^2 =$$100\text{ cm} \times 100\text{ cm} =$$10\,000\text{ cm}^2$.

5. 5

   Un carré a un côté de 3 cm. Quelle est son aire en mm² ?

   Réponse C : 900 mm²

   $3\text{ cm} = 30\text{ mm}$, donc l'aire vaut $30 \times 30 = 900\text{ mm}^2$.

6. 6

   On coupe un angle d'une feuille carrée en suivant un segment droit : le sommet est remplacé par un petit côté. Combien de côtés a la feuille coupée ?

   Réponse B : 5 côtés

   Le carré avait 4 côtés : le sommet coupé est remplacé par un nouveau segment, et les deux côtés voisins restent présents. La feuille a 5 côtés : c'est un pentagone.

7. 7

   Un losange a un côté de 5 cm. Léo affirme que son aire est 25 cm². Que peut-on lui répondre ?

   Réponse D : C'est faux en général : l'aire est base × hauteur, et la hauteur est plus petite que le côté, sauf angles droits

   Un losange est un parallélogramme : son aire se calcule par base × hauteur, et la hauteur est plus petite que le côté quand les angles ne sont pas droits.

8. 8

   Dans un parallélogramme, la somme de trois des angles vaut 290°. Combien mesure le quatrième angle ?

   Réponse A : 70°

   Deux des trois angles sont consécutifs : leur somme vaut $180^\circ$, donc le troisième mesure $290 - 180 = 110^\circ$. Le quatrième, consécutif à celui-ci, mesure $180 - 110 = 70^\circ$.

9. 9

   Pourquoi le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme est-il son centre de symétrie ?

   Réponse A : Parce qu'il est le milieu des deux diagonales : chaque sommet a son symétrique de l'autre côté, sur la même diagonale

   Les diagonales se coupent en leur milieu : chaque sommet a pour symétrique le sommet opposé, situé de l'autre côté de ce point sur la même diagonale.

10. 10

    Un jardin est formé d'un rectangle de 5 m sur 4 m et d'un carré de 200 cm de côté, juxtaposés. Quelle est l'aire totale du jardin ?

    Réponse C : 24 m²

    200 cm = 2 m, donc le carré a une aire de $2 \times 2 = 4\text{ m}^2$ et le rectangle une aire de $5 \times 4 = 20\text{ m}^2$ : 24 m² en tout.

11. 11

    Une affiche rectangulaire mesure 60 cm sur 50 cm. Quelle est son aire en m² ?

    Réponse B : 0,3 m²

    $60 \times 50 =$$3\,000\text{ cm}^2$, puis $3\,000 \div 10\,000 =$$0{,}3\text{ m}^2$.

12. 12

    Un parallélogramme a un côté de 7 cm et un périmètre de 24 cm. Quelle est la longueur d'un côté consécutif à celui-ci ?

    Réponse D : 5 cm

    Les côtés opposés ont la même longueur : $24 - 2 \times 7 = 10$ cm pour les deux autres côtés réunis, donc $10 \div 2 = 5$ cm chacun.

13. 13

    Un triangle a une aire de 21 cm². On lui accole, le long d'un de ses côtés, un triangle identique : les deux triangles forment un parallélogramme, et le côté commun est une de ses diagonales. Quelle est l'aire de ce parallélogramme ?

    Réponse D : 42 cm²

    Une diagonale partage un parallélogramme en deux triangles de même aire : l'aire vaut le double, $2 \times 21 = 42\text{ cm}^2$.

14. 14

    Un modèle articulé en forme de parallélogramme pose sur une table : on incline le modèle de façon que le côté opposé à la base se rapproche d'elle, la base restant de même longueur. Que devient son aire ?

    Réponse C : Elle diminue, car la hauteur perpendiculaire entre la base et le côté opposé diminue

    L'aire se calcule par base × hauteur ; la base ne change pas, mais la hauteur, distance perpendiculaire entre les deux côtés, diminue quand le côté opposé se rapproche de la base.

15. 15

    Combien de mm² contient 1 dm², et avec quel raisonnement ?

    Réponse A : 10 000 mm² : 1 dm² = 100 cm², et chaque cm² vaut 100 mm²

    On passe par les cm² : 1 dm² = 100 cm², et chaque cm² vaut 100 mm², donc $100 \times 100 =$$10\,000\text{ mm}^2$.

16. 16

    Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{100\,000}$, deux villages sont distants de 7 cm sur la carte. Quelle est la distance réelle en mètres ?

    Réponse A : 7 000 m

    1 cm sur la carte représente 1 km, donc 7 cm représentent 7 km, soit 7 000 m.

17. 17

    Sur la figure codée d'un quadrilatère ABCD, les côtés [AB] et [CD] portent deux petits traits chacun, et les côtés [BC] et [DA] portent un seul trait chacun. Que peut-on affirmer avec certitude ?

    Réponse B : Ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux, mais rien ne permet d'affirmer que les quatre côtés sont égaux

    Même nombre de traits : mêmes longueurs. Les côtés opposés sont égaux deux à deux, mais rien ne permet d'affirmer que les quatre côtés sont égaux : ce n'est pas forcément un losange.