Divisibilité et nombres premiers

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Un nombre premier pair est égal à 2.

   Vrai

   Par exemple, $4 = 2 \times 2$ n’est pas premier, car il a 2 pour diviseur, en plus de 1 et de lui-même.

2. 2

   Le nombre 1 est un nombre premier.

   Faux

   Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même. Or 1 n’a qu’un diviseur : lui-même.

3. 3

   Les nombres premiers inférieurs à 20 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.

   Vrai

   Par exemple, 9 n’est pas premier, car $9 = 3 \times 3$.

4. 4

   21 est un nombre premier, car il est impair.

   Faux

   Un nombre impair n’est pas forcément premier : $21 = 3 \times 7$.

5. 5

   La décomposition en facteurs premiers de 306 est $2 \times 3^2 \times 17$.

   Vrai

   Les facteurs 2, 3 et 17 sont premiers, et $2 \times 3 \times 3 \times 17 =$$306$.

6. 6

   La décomposition en facteurs premiers de 84 est $2 \times 2 \times 21$.

   Faux

   21 n’est pas premier : il faut encore le décomposer, soit $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.

7. 7

   348 est divisible par 3.

   Vrai

   Comme $3 + 4 + 8 = 15$ et que 15 est divisible par 3, 348 l’est aussi.

8. 8

   363 est divisible par 9.

   Faux

   La somme de ses chiffres vaut 12, qui n’est pas divisible par 9 : 363 ne l’est donc pas.

9. 9

   Un nombre divisible par 2 et par 3 est divisible par 6.

   Vrai

   Par exemple, $72 = 6 \times 12$, et 72 est bien divisible par 2 et par 3.

10. 10

    5 est un diviseur de 12.

    Faux

    Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 : 5 n’en fait pas partie.

11. 11

    Dans la division euclidienne de 47 par 6, le quotient est 7 et le reste est 5.

    Vrai

    $47 = 6 \times 7 + 5$, et le reste vérifie bien $0 \leq 5 < 6$.

12. 12

    Après le passage de 90 dents, la roue de 30 dents a fait 2 tours.

    Faux

    Le nombre de tours vaut $90 \div 30 = 3$ : la roue fait 3 tours, pas 2.

13. 13

    Deux roues de 30 et de 45 dents, engrenées avec une dent de chaque roue en contact au départ, ont de nouveau ces deux dents en contact après le passage de 90 dents.

    Vrai

    90 est à la fois multiple de 30 et de 45, et c’est le plus petit : la roue de 30 dents fait alors 3 tours et celle de 45 dents fait 2 tours, donc les deux dents de départ se retrouvent en contact.

14. 14

    Deux ampoules allumées ensemble au départ se rallument à intervalles réguliers de 153 s et de 187 s : elles sont de nouveau allumées ensemble après 1 683 s.

    Vrai

    $153 = 3^2 \times 17$ et $187 = 11 \times 17$ : le plus petit multiple commun vaut $3^2 \times 11 \times 17 =$$1\,683$.

15. 15

    La fraction $\frac{18}{24}$ est irréductible.

    Faux

    18 et 24 sont divisibles par 6 : la fraction se simplifie en $\frac{3}{4}$.

16. 16

    La fraction $\frac{124}{2\,220}$ est égale à $\frac{31}{555}$.

    Vrai

    On divise numérateur et dénominateur par le facteur commun $2^2 = 4$ : $124 = 4 \times 31$ et $2\,220 = 4 \times 555$.

17. 17

    La fraction $\frac{31}{555}$ est irréductible.

    Vrai

    $555 = 3 \times 5 \times 37$, et 31 est premier sans figurer dans cette décomposition : 31 ne divise pas 555, donc la fraction est irréductible.