Divisibilité, nombres premiers et fractions

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Un nombre divisible par 9 est aussi divisible par 3.

   Vrai

   Si $n = 9 \times k$, alors $n = 3 \times (3 \times k)$ : un multiple de 9 est aussi un multiple de 3.

2. 2

   Un nombre divisible par 3 est divisible par 9.

   Faux

   Faux : 12 est divisible par 3, mais pas par 9, car la somme de ses chiffres, $1 + 2 = 3$, n'est pas divisible par 9.

3. 3

   Dans la division euclidienne de 250 par 9, le quotient est 27 et le reste est 7.

   Vrai

   $250 = 9 \times 27 + 7$, avec $0 \leq 7 < 9$ : le quotient est bien 27 et le reste 7.

4. 4

   $1\,050 =$$2 \times 3 \times 5 \times 35$ est la décomposition de 1 050 en facteurs premiers.

   Faux

   Faux : $35 = 5 \times 7$, donc 35 n'est pas premier. Une décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers : il faut poursuivre le calcul.

5. 5

   La fraction $\frac{35}{49}$ est irréductible.

   Faux

   Faux : $35 = 5 \times 7$ et $49 = 7 \times 7$ ont le facteur 7 en commun : $\frac{35}{49} = \frac{5}{7}$.

6. 6

   La fraction $\frac{252}{180}$ est égale à $\frac{7}{5}$.

   Vrai

   $252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ et $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ : on supprime le facteur commun $2^2 \times 3^2 = 36$, d'où $\frac{7}{5}$.

7. 7

   Le nombre 1 050 est divisible par 4, car 2 figure dans sa décomposition en facteurs premiers.

   Faux

   Faux : $4 = 2 \times 2$ demande deux facteurs 2, or $1\,050 =$$2 \times 3 \times 5^2 \times 7$ n'en contient qu'un.

8. 8

   Le nombre 2 220 n'est pas divisible par 7, car 7 ne figure pas dans sa décomposition en facteurs premiers.

   Vrai

   $2\,220 =$$2^2 \times 3 \times 5 \times 37$ ne contient pas le facteur premier 7 : le nombre n'est donc pas divisible par 7.

9. 9

   Le nombre 51 est un nombre premier, car il est impair et n'est divisible ni par 2 ni par 5.

   Faux

   Faux : $51 = 3 \times 17$. La somme de ses chiffres, $5 + 1 = 6$, est divisible par 3.

10. 10

    La division de 1 386 par 11 a un reste nul, donc 1 386 est divisible par 11.

    Vrai

    $1\,386 = 11 \times 126$ : le reste de la division est nul, donc 1 386 est bien divisible par 11.

11. 11

    Le nombre 1 258 est divisible par 2, mais pas par 6.

    Vrai

    Son chiffre des unités est 8, donc il est pair. Mais $1 + 2 + 5 + 8 = 16$ n'est pas divisible par 3 : le nombre n'est donc pas divisible par 6.

12. 12

    Deux feux, allumés ensemble à l'instant 0, s'allument toutes les 12 secondes et toutes les 20 secondes : ils se retrouvent ensemble pour la première fois après 120 secondes.

    Faux

    Faux : $12 = 2^2 \times 3$ et $20 = 2^2 \times 5$ donnent $2^2 \times 3 \times 5 = 60$ : la première rencontre a lieu à 60 secondes.

13. 13

    Le nombre 4 567 est divisible par 3.

    Faux

    Faux : $4 + 5 + 6 + 7 = 22$, et 22 n'est pas divisible par 3 : 4 567 ne l'est donc pas.

14. 14

    Le nombre 1 050 est divisible par 15, car il est divisible par 3 et par 5.

    Vrai

    Il est divisible par 3 et par 5, donc par $3 \times 5 = 15$ : $1\,050 = 15 \times 70$.

15. 15

    Le nombre 1 est un nombre premier.

    Faux

    Faux : 1 n'a qu'un seul diviseur positif, lui-même. Un nombre premier doit en avoir exactement deux, donc 1 n'est pas premier.

16. 16

    Le nombre 53 est un nombre premier.

    Vrai

    Comme $7^2 < 53 < 8^2$, il suffit de tester les nombres premiers jusqu'à 7 : 2, 3, 5 et 7. Aucun ne divise 53 : il est donc premier.