Restes, critères et multiples (5e)

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Dans la division euclidienne de 5 par 8, le quotient est 0 et le reste est 5.

   Vrai

   Le dividende 5 est plus petit que le diviseur 8 : $5 = 8 \times 0 + 5$, et $5 < 8$, donc le reste est bien 5.

2. 2

   La somme de deux nombres impairs est un nombre impair.

   Faux

   Par exemple $3 + 5 = 8$, nombre pair : la somme de deux nombres impairs est paire.

3. 3

   Un multiple de 6 est aussi un multiple de 2 et un multiple de 3.

   Vrai

   Si $a = 6 \times k$, alors $a = 2 \times (3 \times k)$ et $a = 3 \times (2 \times k)$ : $a$ est un multiple de 2 et de 3.

4. 4

   Le nombre 27 est impair, donc il n’est pas divisible par 3.

   Faux

   Impair signifie non divisible par 2 : cela ne dit rien sur 3. Or $27 = 3 \times 9$, donc 27 est divisible par 3.

5. 5

   Un nombre divisible par 5 et impair se termine par 5.

   Vrai

   Un multiple de 5 se termine par 0 ou 5. Un nombre impair ne se termine pas par un chiffre pair, donc il se termine par 5 : par exemple $35 = 5 \times 7$.

6. 6

   5 est un diviseur commun de 15 et de 35.

   Vrai

   $15 = 5 \times 3$ et $35 = 5 \times 7$ : 5 divise les deux nombres.

7. 7

   La somme de deux multiples de 4 est un multiple de 4.

   Vrai

   Si $a = 4 \times m$ et $b = 4 \times n$, alors $a + b =$$4 \times (m + n)$ : la somme est encore un multiple de 4.

8. 8

   Le nombre 100 est divisible par 3, car il se termine par 0.

   Faux

   Se terminer par 0 donne la divisibilité par 10 ; pour 3, il faut que la somme des chiffres soit divisible par 3, et $1 + 0 + 0 = 1$ ne l’est pas.

9. 9

   Le nombre 16 possède exactement cinq diviseurs positifs.

   Vrai

   Les couples $1 \times 16$, $2 \times 8$ et $4 \times 4$ donnent les diviseurs positifs 1, 2, 4, 8 et 16 : il y en a cinq.

10. 10

    Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0.

    Vrai

    Un nombre divisible par 2 et par 5 est divisible par 10 : par exemple $130 = 10 \times 13$. Or un multiple de 10 se termine par 0.

11. 11

    Le produit de deux nombres impairs est un nombre pair.

    Faux

    Par exemple $3 \times 5 = 15$, qui n’est pas divisible par 2 : le produit de deux impairs reste impair.

12. 12

    Le plus petit diviseur de 77 supérieur à 1 est 7.

    Vrai

    77 n’est divisible ni par 2, ni par 3 (somme des chiffres 14), ni par 5 ; or $77 = 7 \times 11$, donc le plus petit diviseur supérieur à 1 est 7.