Probabilités : dés, pièces et événements

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Avec deux dés à 6 faces équilibrés, la probabilité d’obtenir deux nombres dont le produit vaut 6 est égale à $\frac{1}{9}$.

   Vrai

   Quatre couples donnent un produit de 6 : (1 ; 6), (2 ; 3), (3 ; 2) et (6 ; 1). Sur 36 issues équiprobables, $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.

2. 2

   Avec deux dés à 6 faces équilibrés, les sommes 2 et 7 sont équiprobables.

   Faux

   Ce sont les issues, c’est-à-dire les couples de résultats, qui sont équiprobables, pas les sommes : la somme 2 n’a qu’une case sur 36, la somme 7 en a six.

3. 3

   On lance une pièce équilibrée puis un dé équilibré à 6 faces : la probabilité d’obtenir Pile et un nombre pair vaut $\frac{1}{4}$.

   Vrai

   Il y a 12 issues, dont 3 favorables (Pile avec 2, 4 ou 6) : $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.

4. 4

   Avec deux dés à 6 faces équilibrés, la probabilité d’obtenir deux nombres différents vaut $\frac{5}{6}$.

   Vrai

   Les nombres identiques occupent 6 cases sur 36, donc $P=$$1-\frac{6}{36}=$$1-\frac{1}{6}=$$\frac{5}{6}$.

5. 5

   Sur 300 lancers d’un dé équilibré, le 6 est sorti 45 fois : la fréquence observée du 6 est exactement égale à $\frac{1}{6}$.

   Faux

   Cette fréquence vaut $\frac{45}{300}=0{,}15$, différente de $\frac{1}{6}\approx 0{,}167$ : une fréquence observée n’est pas la probabilité, elle tend seulement à s’en rapprocher.

6. 6

   Si la probabilité d’un événement $A$ vaut $\frac{2}{5}$, la probabilité de son événement contraire vaut aussi $\frac{2}{5}$.

   Faux

   Le contraire a pour probabilité $1-P(A)$ : $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$, et non $\frac{2}{5}$.

7. 7

   Avec deux dés à 6 faces, obtenir une somme supérieure à 12 est un événement impossible.

   Vrai

   La plus grande somme possible est $6+6=12$, donc la probabilité d’obtenir une somme supérieure à 12 vaut 0.

8. 8

   Deux lancers successifs d’une pièce équilibrée ont exactement trois issues élémentaires : PP, PF et FF.

   Faux

   Il y en a quatre : PP, PF, FP et FF. PF et FP sont deux issues distinctes, comme le montre l’arbre de dénombrement.

9. 9

   Une urne contient 1 boule bleue et 2 boules violettes. On tire une boule, on la remet dans l’urne, puis on tire une seconde fois : la probabilité d’obtenir au moins une boule violette vaut $\frac{8}{9}$.

   Vrai

   Deux bleues de suite ont pour probabilité $\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$ ; donc $1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$.

10. 10

    Un événement dont la probabilité vaut $\frac{1}{2}$ est un événement certain.

    Faux

    Un événement certain a pour probabilité 1 ; avec $\frac{1}{2}$, l’événement n’est que possible, ni impossible ni certain.

11. 11

    Avec deux dés à 6 faces équilibrés, la probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 10 vaut $\frac{1}{6}$.

    Vrai

    Six couples donnent une somme au moins égale à 10 : (4 ; 6), (5 ; 5), (6 ; 4), (5 ; 6), (6 ; 5) et (6 ; 6), soit $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

12. 12

    Avec un dé à 6 faces équilibré, la probabilité d’obtenir un nombre strictement supérieur à 4 vaut $\frac{1}{2}$.

    Faux

    Les issues favorables sont 5 et 6 : $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Le 4 n’est pas compté : c’est la confusion avec « supérieur ou égal à 4 ».

13. 13

    On lance deux fois une pièce équilibrée : la probabilité d’obtenir exactement un Pile vaut $\frac{1}{2}$.

    Vrai

    Deux issues sur quatre conviennent, PF et FP : $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

14. 14

    Avec deux dés à 6 faces équilibrés, la probabilité d’obtenir une somme égale à 4 vaut $\frac{1}{12}$.

    Vrai

    Trois couples donnent 4 : (1 ; 3), (2 ; 2) et (3 ; 1), soit $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.

15. 15

    Avec deux dés à 6 faces équilibrés, la probabilité d’obtenir une somme paire vaut $\frac{1}{2}$.

    Vrai

    Une somme est paire lorsque les deux nombres ont la même parité : 9 couples de nombres pairs et 9 couples de nombres impairs, soit $\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$.