Calcul littéral : formules et preuves

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   L'égalité $3x + 2 = 5x$ est vraie pour $x = 1$, donc elle reste vraie quelle que soit la valeur de $x$.

   Faux

   Pour $x = 2$, $3x + 2 = 8$ alors que $5x = 10$ : une valeur qui donne deux résultats différents suffit à rendre l'égalité fausse.

2. 2

   La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est un nombre impair.

   Vrai

   Si le nombre pair vaut $2a$ et l'impair $2b + 1$, leur somme vaut $2a + 2b + 1 =$$2(a + b) + 1$, qui est impair.

3. 3

   Dans une suite de carrés alignés en partageant un côté, passer du motif de rang $4$ au motif de rang $8$ ajoute 12 allumettes.

   Vrai

   Le motif de rang $n$ compte $3n + 1$ allumettes : $3 \times 4 + 1 = 13$ et $3 \times 8 + 1 = 25$, et $25 - 13 = 12$.

4. 4

   Dans une suite de carrés alignés en partageant un côté, le motif de rang $n$ compte $4n$ allumettes, car chaque carré a quatre côtés.

   Faux

   Deux carrés voisins partagent un côté : le motif de rang $n$ compte en fait $3n + 1$ allumettes ; pour $n = 2$, il y en a 7 et non 8.

5. 5

   Pour calculer $5 \times 19$, on peut écrire $5 \times 19 =$$5 \times 20 + 5$, ce qui donne $105$.

   Faux

   Comme $19 = 20 - 1$, on a $5 \times 19 =$$5 \times 20 - 5 =$$100 - 5 =$$95$ : il faut soustraire 5, et non l'ajouter.

6. 6

   Un carré de côté 5 cm et un rectangle de longueur 7 cm et de largeur 3 cm ont le même périmètre.

   Vrai

   Le carré a pour périmètre $4 \times 5 = 20$ cm, et le rectangle $2 \times (7 + 3) = 20$ cm.

7. 7

   Un rectangle de longueur 7 cm et de largeur 3 cm a la même aire qu'un carré de côté 5 cm.

   Faux

   L'aire du rectangle vaut $7 \times 3 = 21$ cm², celle du carré $5^2 = 25$ cm² : les deux aires sont différentes.

8. 8

   Le double de $\frac{3}{8}$ est égal à $0{,}75$.

   Vrai

   $\frac{3}{8} =$$3 \div 8 =$$0{,}375$, et son double vaut $2 \times 0{,}375 = 0{,}75$.

9. 9

   Pour $a = 4$ et $b = 2$, l'expression $ab + 3$ est plus grande que $3a$.

   Faux

   $ab = 4 \times 2 = 8$, donc $ab + 3 = 11$ ; or $3a = 12$, et $11 < 12$.

10. 10

    L'égalité $2(n + 1) + 1 =$$2n + 3$ reste vraie quelle que soit la valeur de $n$.

    Vrai

    Par distributivité, $2(n + 1) = 2n + 2$, puis $2n + 2 + 1 =$$2n + 3$ : les deux membres sont égaux pour n'importe quel nombre $n$.

11. 11

    Le double du triple d'un nombre $n$ est égal au triple du double de $n$.

    Vrai

    Le triple de $n$ vaut $3n$, donc son double vaut $2 \times 3n = 6n$ ; le double de $n$ vaut $2n$, donc son triple vaut $3 \times 2n = 6n$.

12. 12

    Le double du successeur du triple de $n$ s'écrit $6n$.

    Faux

    Le successeur du triple est $3n + 1$ ; son double vaut $2 \times (3n + 1) =$$6n + 2$, et non $6n$.

13. 13

    Le triple d'un nombre impair est un nombre impair.

    Vrai

    Un nombre impair s'écrit $2n + 1$ : son triple vaut $3(2n + 1) =$$6n + 3 =$$2(3n + 1) + 1$, qui est impair.

14. 14

    Dans l'expression $2(x + 5) + 3$, le nombre $3$ est un facteur.

    Faux

    La dernière opération est une addition : $2(x + 5)$ et $3$ sont des termes, et 3 n'est pas un facteur.

15. 15

    Un carré de côté $c + 2$ a pour périmètre $4c + 8$.

    Vrai

    Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté : $4 \times (c + 2) =$$4c + 8$.

16. 16

    Un carré de côté $c + 2$ a pour aire $c^2 + 2$.

    Faux

    Pour $c = 1$, le côté mesure 3 et l'aire vaut $3 \times 3 = 9$, alors que $c^2 + 2 = 3$.