Démontrer en géométrie plane, vrai ou faux

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Dans la configuration papillon (B, A, D et C, A, E alignés), si (BC) et (DE) sont parallèles, alors $\frac{AB}{AD}=$$\frac{AC}{AE}=$$\frac{BC}{DE}$.

   Vrai

   C’est l’égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès dans la configuration papillon, lorsque les deux droites sont parallèles.

2. 2

   Dans une configuration papillon avec (BC) et (DE) parallèles, AB = 2, AD = 5 et BC = 3 : on obtient DE = 7,5.

   Vrai

   $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$, donc $DE =$$BC \times \frac{AD}{AB} =$$3 \times \frac{5}{2} =$$7{,}5$.

3. 3

   Si $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$ avec les points alignés dans le même ordre, la réciproque de Thalès permet de conclure que (BC) et (DE) sont perpendiculaires.

   Faux

   La réciproque de Thalès conclut au parallélisme : les droites (BC) et (DE) sont parallèles, pas perpendiculaires.

4. 4

   Deux triangles semblables ont des côtés deux à deux de même longueur.

   Faux

   Des triangles semblables ont leurs côtés correspondants proportionnels, et non de même longueur.

5. 5

   Dans une configuration papillon avec (BC) et (DE) parallèles, les triangles ABC et ADE sont semblables.

   Vrai

   Thalès y donne $\frac{AB}{AD}=$$\frac{AC}{AE}=$$\frac{BC}{DE}$, configuration typique de triangles semblables.

6. 6

   Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient du côté adjacent par l’hypoténuse.

   Vrai

   C’est la définition du cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle.

7. 7

   Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est le quotient du côté adjacent par l’hypoténuse.

   Faux

   Non : le sinus d’un angle aigu est le quotient du côté opposé par l’hypoténuse.

8. 8

   Dans un triangle ABC rectangle en A, avec AB = 4 et AC = 3, on a $\tan\widehat{B}=0{,}75$.

   Vrai

   Pour l’angle $\widehat{B}$, le côté opposé est AC et le côté adjacent est AB : $\tan\widehat{B}=$$\frac{AC}{AB}=$$\frac{3}{4}=$$0{,}75$.

9. 9

   Dans un triangle ABC rectangle en A, avec AB = 4 et BC = 5, on a $\cos\widehat{B}=\frac{5}{4}$.

   Faux

   L’hypoténuse est BC et le côté adjacent à $\widehat{B}$ est AB : $\cos\widehat{B}=$$\frac{4}{5}=$$0{,}8$ ; le quotient est ici inversé.

10. 10

    Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus vaut 180°.

    Faux

    Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires : leur somme vaut 90°, et non 180°.

11. 11

    Par l’homothétie de centre O et de rapport 3, un point M tel que OM = 2 a pour image un point M' tel que OM' = 6.

    Vrai

    $OM' =$$3 \times OM =$$3 \times 2 =$$6$ ; le rapport, positif, place M' sur la demi-droite [OM).

12. 12

    Par l’homothétie de centre O et de rapport $-0{,}5$, un point M tel que OM = 4 a pour image un point M' tel que OM' = 2, situé du même côté de O que M.

    Faux

    $OM' =$$0{,}5 \times OM =$$0{,}5 \times 4 =$$2$ ; le rapport négatif place M' de l’autre côté de O par rapport à M.

13. 13

    Par une homothétie de rapport 3, un carré d’aire 4 a pour image un carré d’aire 12.

    Faux

    Les longueurs sont multipliées par 3, donc les aires par $3 \times 3 = 9$ : le carré d’aire 4 a pour image un carré d’aire 36.

14. 14

    Six rotations successives de 60° de même centre ramènent une figure à sa position de départ.

    Vrai

    $6 \times 60^\circ = 360^\circ$ : la figure effectue un tour complet et retrouve sa position de départ.

15. 15

    Le sens positif d’une rotation est le sens des aiguilles d’une montre.

    Faux

    Le sens positif, dit sens direct, est le sens inverse des aiguilles d’une montre.

16. 16

    Une frise peut être obtenue en reproduisant régulièrement un motif par translation.

    Vrai

    Une frise est une bande dans laquelle un motif est reproduit régulièrement, au moyen de translations.

17. 17

    Une rosace à six motifs, répartis régulièrement autour d’un centre O, est invariante par la rotation de centre O et d’angle 45°.

    Faux

    L’angle de la rosace vaut $\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$ : c’est la rotation de 60° qui laisse la rosace inchangée.

18. 18

    Un pavage recouvre le plan avec des motifs identiques, sans trou ni chevauchement.

    Vrai

    C’est la définition d’un pavage ; on y organise souvent les motifs par translations ou rotations.