Raisonner sur les longueurs (6e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Un sentier mesure 0,8 hm de long. Léa le parcourt à l'aller, puis revient au point de départ par le même chemin. Quelle distance a-t-elle parcourue, en mètres ?

   Réponse A : 160 m

   $0{,}8 \text{ hm} =$$0{,}8 \times 100 \text{ m} =$$80 \text{ m}$ ; l'aller-retour fait deux fois ce trajet : $2 \times 80 = 160$ m.

2. 2

   Un rectangle mesure 7 cm sur 4 cm et un carré a un côté de 5 cm. De combien de centimètres le périmètre du rectangle dépasse-t-il celui du carré ?

   Réponse D : 2 cm

   Périmètre du rectangle : $2 \times (7 + 4) = 22$ cm ; du carré : $4 \times 5 = 20$ cm. Le dépassement vaut $22 - 20 = 2$ cm.

3. 3

   Un disque a un diamètre de 4 cm et un autre un diamètre de 12 cm. Le périmètre du grand disque est combien de fois celui du petit ?

   Réponse B : 3 fois

   Le périmètre est proportionnel au diamètre : le diamètre est multiplié par $\frac{12}{4} = 3$, donc le périmètre aussi.

4. 4

   Une bande de tissu mesure 1,25 m. On en coupe 35 cm. Quelle longueur reste-t-il, en centimètres ?

   Réponse C : 90 cm

   $1{,}25 \text{ m} = 125 \text{ cm}$ ; puis $125 - 35 = 90$ : il reste 90 cm.

5. 5

   Laquelle de ces comparaisons est exacte ?

   Réponse D : $1{,}5 \text{ km} > 1\,400 \text{ m}$

   $1{,}5 \text{ km} = 1\,500 \text{ m}$ : seule cette comparaison est vraie. Les autres échouent, par exemple $45 \text{ dm} = 4{,}5 \text{ m}$, qui ne dépasse pas 5 m.

6. 6

   Un rectangle mesure 10 cm sur 6 cm. On accole vers l'extérieur, le long d'un petit côté de 6 cm, un demi-disque dont le diamètre est ce côté. Quel est le périmètre de la figure obtenue, en prenant 3,14 pour $\pi$ ?

   Réponse A : 35,42 cm

   Le côté de 6 cm sort du contour et la demi-circonférence s'y ajoute : $2 \times$$(10 +$$6) -$$6 +$$\frac{3{,}14 \times 6}{2} =$$35{,}42$ cm.

7. 7

   Un rectangle a un périmètre de 30 cm et une longueur de 9 cm. Quelle est sa largeur ?

   Réponse C : 6 cm

   La longueur et la largeur ensemble valent $30 \div 2 = 15$ cm : la largeur est donc $15 - 9 = 6$ cm.

8. 8

   Un élève calcule le périmètre d'un rectangle de 5 cm sur 2 cm et écrit : $2 \times 5 + 2 = 12$ cm. Quelle est son erreur ?

   Réponse B : Il a compté la longueur deux fois, mais la largeur une seule fois : il manque un côté.

   Un rectangle a deux longueurs et deux largeurs : $P =$$2 \times (5 + 2) =$$14$ cm. L'élève a compté la longueur deux fois et la largeur une seule.

9. 9

   Le périmètre d'un carré mesure 36 cm. On double la longueur de son côté. Quel est le nouveau périmètre ?

   Réponse A : 72 cm

   Le côté mesure $36 \div 4 = 9$ cm ; doublé, il vaut 18 cm, et le périmètre vaut $4 \times 18 = 72$ cm.

10. 10

    Une piste circulaire a un diamètre de 40 m. Un coureur fait deux tours complets de la piste. Quelle distance parcourt-il, en mètres, en prenant 3,14 pour $\pi$ ?

    Réponse B : 251,2 m

    Un tour : $3{,}14 \times 40 = 125{,}6$ m ; deux tours : $2 \times 125{,}6 = 251{,}2$ m.

11. 11

    Nina veut border un tableau rectangulaire de 1,2 m sur 80 cm avec un ruban. Quelle longueur de ruban, en mètres, lui faut-il pour faire le tour complet du tableau ?

    Réponse D : 4,0 m

    En cm : $1{,}2 \text{ m} = 120$ cm, donc $2 \times (120 + 80) =$$400$ cm, soit $4$ m.

12. 12

    Un quart de disque a un rayon de 6 cm. Quel est le périmètre de cette figure, c'est-à-dire la longueur de tout son contour, en prenant 3,14 pour $\pi$ ?

    Réponse C : 21,42 cm

    Le contour comprend deux rayons de 6 cm et un quart de cercle : $6 +$$6 +$$\frac{3{,}14 \times 12}{4} =$$21{,}42$ cm.

13. 13

    Une table carrée a un côté de 8 dm. Quel est son périmètre, exprimé en centimètres ?

    Réponse A : 320 cm

    Un côté mesure $8 \times 10 = 80$ cm, donc le périmètre vaut $4 \times 80 = 320$ cm.

14. 14

    Un polygone a cinq côtés et un périmètre de 27 cm. Quatre de ses côtés mesurent 6 cm chacun. Quelle est la longueur du cinquième côté ?

    Réponse D : 3 cm

    Les quatre côtés connus font $4 \times 6 = 24$ cm ; le cinquième mesure donc $27 - 24 = 3$ cm.

15. 15

    Un rectangle de 6 cm sur 4 cm est accolé, par un de ses côtés de 4 cm, à un carré de 4 cm de côté. Quel est le périmètre de la figure obtenue ?

    Réponse B : 28 cm

    Le côté commun n'est plus sur le contour et il est compté deux fois : $20 + 16 - 2 \times 4 =$$28$ cm.

16. 16

    Un disque a un diamètre de 2 dm. Quel est son périmètre, en centimètres, en prenant 3,14 pour $\pi$ ?

    Réponse C : 62,8 cm

    Le diamètre vaut $2 \times 10 = 20$ cm, donc $P =$$3{,}14 \times 20 =$$62{,}8$ cm.