Raisonner sur la divisibilité (5e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Un élève affirme : « Dans la division euclidienne de 45 par 8, le quotient est 6 et le reste est 5. » Quel commentaire est juste ?

   Réponse B : Son affirmation est fausse : le quotient est 5, car $8 \times 5 + 5 = 45$

   Vérification : $8 \times 6 + 5 = 53$, pas 45. Avec $8 \times 5 = 40$, le reste vaut $45 - 40 = 5$, inférieur à 8 : c'est la bonne division.

2. 2

   Un élève écrit $24 = 4 \times 6$ et affirme : « C'est la seule façon, à l'ordre des facteurs près, d'écrire 24 comme produit de deux nombres différents de 1. » Quelle est son erreur ?

   Réponse A : Il oublie d'autres factorisations, comme $2 \times 12$ et $3 \times 8$

   24 se factorise aussi en $2 \times 12$ et en $3 \times 8$ : une factorisation n'est pas unique. Dans une même écriture, l'ordre des facteurs ne compte pas.

3. 3

   Quel chiffre faut-il écrire à la place du point d'interrogation dans 3 ? 5 pour que le nombre soit divisible par 9 ?

   Réponse C : 1

   La somme des chiffres vaut 8 plus le chiffre cherché ; elle doit valoir 9, donc le chiffre est 1 : $315 = 9 \times 35$.

4. 4

   Un élève liste les diviseurs de 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 18. Quel diviseur de 18 a-t-il oublié ?

   Réponse D : 9

   Comme $18 = 2 \times 9$, 9 est un diviseur de 18 : c'est le nombre manquant dans la liste.

5. 5

   Combien de multiples de 7 sont strictement compris entre 10 et 50 ?

   Réponse A : 6

   Ce sont 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; 42 ; 49, soit 6 nombres : 7 n'est pas assez grand et 56 dépasse 50.

6. 6

   Quel est le plus grand nombre de trois chiffres dont le chiffre des dizaines est 9 et qui est divisible à la fois par 2 et par 5 ?

   Réponse B : 990

   Être divisible par 2 et par 5 impose un chiffre des unités à la fois pair et égal à 0 ou 5, donc 0 : le plus grand est 990.

7. 7

   Dans une division euclidienne, le diviseur est 9, le quotient est 7 et le reste est 4. Quel est le dividende ?

   Réponse C : 67

   Le dividende vaut diviseur × quotient + reste : $9 \times 7 + 4 =$$63 + 4 =$$67$.

8. 8

   Un nombre $n$ est pair. Quel est le reste de la division euclidienne de $n + 1$ par 2 ?

   Réponse A : 1

   Le successeur d’un nombre pair est impair. Or un nombre impair laisse un reste de 1 dans une division par 2 : le reste de $n+1$ est donc 1.

9. 9

   Le nombre 124 n'est pas divisible par 3. En remplaçant son chiffre des unités par un chiffre pair et non nul, on veut obtenir un nombre divisible par 3. Quel chiffre convient ?

   Réponse C : 6

   Les chiffres pairs non nuls sont 2, 4, 6 et 8 : seul 6 donne une somme multiple de 3, car $1 + 2 + 6 = 9$ et $126 = 3 \times 42$.

10. 10

    Quel est le plus petit nombre de trois chiffres divisible à la fois par 10 et par 9 ?

    Réponse D : 180

    Divisible par 10 : il se termine par 0. Parmi 100, 110, ..., 180, seul 180 a une somme de chiffres multiple de 9 : $1 + 8 + 0 = 9$.

11. 11

    Dans la division euclidienne de 63 par 7, le reste est 0. Quel autre nombre est alors un diviseur de 63 ?

    Réponse B : 9

    La division est exacte : $63 = 7 \times 9$. Le quotient 9 est donc aussi un diviseur de 63, alors que 14 est un multiple de 7, pas un diviseur.

12. 12

    Dans une division euclidienne par 7, le quotient est 8. Quel est le plus grand dividende possible ?

    Réponse C : 62

    Le reste doit être strictement inférieur à 7 : au plus 6. Le plus grand dividende est $7 \times 8 + 6 = 62$.

13. 13

    Quel est le reste de la division euclidienne de $1\,000$ par 9 ?

    Réponse D : 1

    La somme des chiffres de 999 vaut 27, multiple de 9 : $999 = 9 \times 111$. Donc $1\,000 =$$9 \times 111 + 1$, et le reste est 1.

14. 14

    Combien de nombres à deux chiffres sont à la fois multiples de 2 et de 5 ?

    Réponse D : 9

    Être multiple de 2 et de 5 revient à se terminer par 0 : 10, 20, ..., 90 sont les neuf nombres à deux chiffres concernés.

15. 15

    On passe de la division euclidienne de 40 par 7 (quotient 5, reste 5) à celle de 47 par 7. Qu'observe-t-on ?

    Réponse D : Le quotient augmente de 1 et le reste reste égal à 5

    $47 = 7 \times 6 + 5$ : ajouter 7 au dividende augmente le quotient de 1, et le reste ne change pas car il reste inférieur à 7.

16. 16

    Lequel de ces exemples montre qu'un multiple de 9 n'est pas forcément pair ?

    Réponse A : $27 = 9 \times 3$ : 27 est un multiple de 9, mais il n'est pas divisible par 2

    27 est un multiple de 9 ($27 = 9 \times 3$) ; il se termine par 7, donc il n'est pas divisible par 2 et n'est pas pair.

17. 17

    Lequel de ces nombres possède le plus de diviseurs ?

    Réponse B : 16

    Diviseurs de 16 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16, soit 5. Ceux de 14 sont 1 ; 2 ; 7 ; 14, soit 4 ; 9 et 25 en ont 3 chacun.

18. 18

    Parmi les nombres de deux chiffres multiples de 5 dont le chiffre des dizaines est 7, lequel est aussi divisible par 3 ?

    Réponse B : 75

    Les multiples de 5 dont le premier chiffre est 7 sont 70 et 75 ; seul 75 est divisible par 3, car $7 + 5 = 12$ est un multiple de 3.