Multiples, diviseurs et divisibilité (5e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Dans la division euclidienne de 53 par 7, quel est le reste ?

   Réponse B : 4

   $53 = 7 \times 7 + 4$ : le reste est 4, car il doit être strictement inférieur au diviseur 7.

2. 2

   Quelle écriture correspond à la division euclidienne de 31 par 7 ?

   Réponse D : $31 = 7 \times 4 + 3$

   $7 \times 4 + 3 = 31$, avec $0 \leq 3 < 7$ : le reste doit être positif et strictement inférieur au diviseur.

3. 3

   Dans une division euclidienne par 8, le quotient est 6 et le reste est 3. Quel est le dividende ?

   Réponse C : 51

   Le dividende est égal au diviseur × quotient + reste : $8 \times 6 + 3 = 51$.

4. 4

   Dans la division euclidienne de 17 par 3, quel est le quotient ?

   Réponse D : 5

   $3 \times 5 = 15 \leq 17$ et $3 \times 6 = 18 > 17$ : le quotient est donc 5.

5. 5

   Quelle propriété est vraie pour tout entier non nul ?

   Réponse B : Il possède une infinité de multiples

   Ses multiples s’obtiennent en le multipliant par 0, 1, 2, 3, … sans fin ; il n’a en revanche qu’un nombre fini de diviseurs.

6. 6

   Quel est le plus petit multiple de 7 strictement supérieur à 50 ?

   Réponse A : 56

   $7 \times 7 = 49$ est trop petit, et $7 \times 8 = 56$ est le premier multiple de 7 au-delà de 50.

7. 7

   Combien de diviseurs possède 36 ?

   Réponse D : 9

   Les diviseurs de 36 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 et 36 : il y en a 9. Ne pas oublier 6, car $6 \times 6 = 36$.

8. 8

   Quel nombre est divisible à la fois par 2 et par 5 ?

   Réponse B : 4 670

   Un nombre divisible par 2 et par 5 se termine par 0 : il est alors divisible par 10. Ici, 4 670 se termine bien par 0.

9. 9

   Quel nombre est divisible par 9 ?

   Réponse A : 5 823

   La somme des chiffres de 5 823 vaut $5 + 8 + 2 + 3 = 18$, qui est divisible par 9 : le nombre l’est donc aussi.

10. 10

    Quel nombre est divisible par 3 ?

    Réponse C : 2 541

    La somme des chiffres de 2 541 vaut $2 + 5 + 4 + 1 = 12$, qui est divisible par 3 : le nombre l’est donc aussi.

11. 11

    Quand un entier $a$ est-il divisible par un entier $b$ non nul ?

    Réponse A : Quand le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul

    Pour $b$ non nul, $a$ est divisible par $b$ lorsque le reste de la division euclidienne est nul : $a = b \times k$, avec $k$ entier (la division par 0 est impossible).

12. 12

    Quelle phrase a le même sens que « 28 est un multiple de 4 » ?

    Réponse C : 28 est divisible par 4

    Les phrases « 28 est un multiple de 4 », « 28 est divisible par 4 » et « 4 est un diviseur de 28 » ont le même sens : $28 = 4 \times 7$.

13. 13

    Laquelle de ces écritures est une factorisation de 21 ?

    Réponse A : $21 = 3 \times 7$

    Factoriser, c’est écrire un nombre comme produit de deux entiers différents de 1 : $3 \times 7 = 21$. Le produit $1 \times 21$ ne compte pas.

14. 14

    En utilisant le critère de divisibilité par 3, quelle factorisation de 33 obtient-on ?

    Réponse B : $33 = 3 \times 11$

    La somme des chiffres de 33 vaut $3 + 3 = 6$, qui est divisible par 3 : le nombre l’est donc, et $33 = 3 \times 11$.

15. 15

    Quel nombre est divisible par 5, mais pas par 10 ?

    Réponse C : 2 705

    Un nombre divisible par 5 se termine par 0 ou 5. Il n’est divisible par 10 que s’il se termine par 0 : 2 705 finit par 5, il convient.

16. 16

    Quel nombre est divisible par 3, mais pas par 9 ?

    Réponse D : 525

    Pour 525, la somme des chiffres vaut $5 + 2 + 5 = 12$ : divisible par 3, pas par 9. Pour 441 et 729, elle vaut 9 et 18 ; pour 610, elle vaut 7.

17. 17

    Quel nombre est à la fois un multiple de 6 et un diviseur de 24 ?

    Réponse C : 12

    $12 = 6 \times 2$ est un multiple de 6, et $24 = 12 \times 2$ : 12 divise 24. 48 est un multiple de 6, mais c’est un multiple de 24, pas un diviseur.

18. 18

    Quel nombre est divisible à la fois par 3 et par 5 ?

    Réponse B : 1 215

    1 215 se termine par 5 et la somme de ses chiffres vaut $1 + 2 + 1 + 5 = 9$ : divisible par 5 et par 3. 2 105 a pour somme 8 ; 1 216 ne finit pas par 0 ou 5.