Calcul littéral : détecter les erreurs

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Un élève développe $-3(x - 5)$ et écrit $-3x - 15$ ; il a correctement distribué le facteur $-3$.

   Faux

   $-3 \times (-5) = +15$ : le développement correct est $-3x + 15$. Quand le facteur est négatif, chaque terme change de signe.

2. 2

   Dans l'équation $(2{,}5x -$$7)(8x -$$9{,}6) =$$0$, le nombre 2,8 est bien solution, car $2{,}5 \times 2{,}8 = 7$.

   Vrai

   Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul. Pour $x = 2{,}8$ : $2{,}5x - 7 =$$7 - 7 =$$0$, donc le produit vaut 0.

3. 3

   L'équation $5x + 3 = 5x - 2$ a une solution : on la trouve en retranchant $5x$ aux deux membres.

   Faux

   En retranchant $5x$ aux deux membres, on obtient $3 = -2$, égalité fausse : cette équation n'a pas de solution.

4. 4

   Les équations $x^2 = 16$ et $x = 4$ ont exactement les mêmes solutions.

   Faux

   $x=-4$ vérifie aussi $x^2=16$, tandis que l'équation $x=4$ n'admet que 4 ; les ensembles de solutions diffèrent.

5. 5

   Pour résoudre $x^2 - 9 = 0$, factoriser en $(x + 3)(x - 3)$ ou appliquer la règle de l'équation $x^2 = a$ conduit aux mêmes solutions.

   Vrai

   Factorisée : $x = 3$ ou $x = -3$. Avec $x^2 = 9$ : $\sqrt{9} = 3$ et $-\sqrt{9} = -3$. Les deux méthodes coïncident.

6. 6

   « Un nombre diminué de 5 puis multiplié par 3 donne 12 » se traduit par l'équation $3x - 5 = 12$.

   Faux

   C'est $x - 5$ que l'on multiplie par 3 : l'équation est $3(x - 5) = 12$, d'où $x - 5 = 4$ et $x = 9$.

7. 7

   Un rectangle de longueur $2x$ et de largeur $x - 3$, en cm, a un périmètre de $6x - 6$ cm ; si ce périmètre vaut 24 cm, alors $x = 5$.

   Vrai

   Périmètre : $2 \times$$2x +$$2(x -$$3) =$$4x + 2x - 6 =$$6x - 6$. Puis $6x - 6 = 24$, donc $6x = 30$ et $x = 5$.

8. 8

   Dans la forme réduite de $3x^2 + 5x - x^2 + 2$, les termes $2x^2$ et $5x$ sont semblables.

   Faux

   La forme réduite est $2x^2 + 5x + 2$ ; or $2x^2$ et $5x$ n'ont pas la même partie littérale, ils ne sont pas semblables.

9. 9

   L'opposé de $3 - 5x$ est $5x - 3$ : la somme de ces deux expressions est nulle.

   Vrai

   On change le signe de chaque terme : $-3 + 5x$. Puis $3 -$$5x +$$(-3 +$$5x) =$$0$ : une expression et son opposé s'annulent.

10. 10

    Pour résoudre $x^2 - 25 = 0$, on écrit $(x + 5)(x - 5) = 0$ : la seule solution est $x = 5$.

    Faux

    Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : $x + 5 = 0$ donne $x = -5$. Les solutions sont donc $x = 5$ et $x = -5$.

11. 11

    L'équation $3x + 5 = 14$ a la même solution que $3x = 9$ ; son unique solution est donc $x = 3$.

    Vrai

    On retranche 5 aux deux membres, puis on divise par 3 : ces transformations ne changent pas les solutions.

12. 12

    Selon le signe de $a$, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions si $a > 0$, une seule si $a = 0$ et aucune si $a < 0$.

    Vrai

    Par exemple : $x^2 = 25$ a deux solutions, $x^2 = 0$ une seule ($x = 0$) et $x^2 = -16$ n'en a aucune.

13. 13

    Un élève développe $(x - 2)(x - 5)$ et obtient $x^2 - 7x + 10$ ; il s'est trompé dans le produit $(-2) \times (-5)$.

    Faux

    $(-2) \times (-5) = +10$ : le développement $x^2 - 7x + 10$ est exact, l'élève n'a fait aucune erreur de signe.

14. 14

    Pour développer $(5x - 2)(5x + 2)$, on peut poser $a = 5x$ et $b = 2$ dans $(a + b)(a - b) =$$a^2 - b^2$, ce qui donne $25x^2 - 4$.

    Vrai

    $(5x)^2 = 25x^2$ et $2^2 = 4$, d'où $25x^2 - 4$ : l'identité s'applique bien avec $a = 5x$.

15. 15

    $9 - (4x - 6)$ et $15 - 4x$ sont deux écritures de la même expression.

    Vrai

    Soustraire $4x - 6$ revient à ajouter son opposé $-4x + 6$ : on obtient $9 - 4x + 6 =$$15 - 4x$.

16. 16

    Si 4 est solution de l'équation $x^2 = 4x$, alors 4 est aussi solution de l'équation $x^2 = 4x + 3$.

    Faux

    Pour $x = 4$ : $x^2 = 16$ mais $4 \times 4 + 3 = 19$. Ajouter 3 au second membre change les solutions.

17. 17

    Le nombre $-2$ est solution de l'équation $x^2 = 4x + 12$.

    Vrai

    On remplace et on compare les membres : $(-2)^2 = 4$ et $4 \times (-2) + 12 =$$-8 + 12 =$$4$. L'égalité est vraie.