Médiatrice : idées reçues et logique

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Le point $M$ est à 5 cm de $A$ et à 6 cm de $B$, avec $AB = 11$ cm : $M$ n’est pas le milieu de $[AB]$.

   Vrai

   Le milieu de $[AB]$ est à $11 \div 2 = 5{,}5$ cm de $A$ comme de $B$. Or $M$ est à 5 cm de $A$ et à 6 cm de $B$ : ce n’est pas le milieu.

2. 2

   Pour tracer la médiatrice de $[AB]$, si le compas est ouvert à plus de $AB$, les deux arcs ne se coupent plus.

   Faux

   Un rayon strictement supérieur à la moitié de $AB$ suffit : un rayon encore plus grand donne aussi deux points d’intersection des arcs.

3. 3

   Un point $M$ du segment $[AB]$, avec $AB = 9{,}4$ cm et situé à $4{,}9$ cm de $A$, est plus proche de $B$ que de $A$.

   Vrai

   Le milieu est à $9{,}4 \div 2 = 4{,}7$ cm de $A$. Comme $M$ est au-delà, $MB =$$9{,}4 - 4{,}9 =$$4{,}5$ cm, plus petit que $MA = 4{,}9$ cm.

4. 4

   Si le point $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$, alors $MA$ est égale à la moitié de $AB$.

   Faux

   La moitié de $AB$ n’est la distance de $A$ qu’au milieu de $[AB]$ : la médiatrice contient aussi d’autres points, qui ne sont pas à cette distance de $A$.

5. 5

   Les médiatrices de $[AB]$ et de $[BA]$ sont une seule et même droite.

   Vrai

   $[AB]$ et $[BA]$ désignent le même segment, d’extrémités $A$ et $B$ ; or un segment n’a qu’une seule médiatrice.

6. 6

   Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés dans cet ordre, avec $AB = 4$ cm et $BC = 2$ cm : la médiatrice de $[AC]$ passe par $B$.

   Faux

   $AC = 6$ cm : le milieu de $[AC]$ est à 3 cm de $A$, donc avant $B$. De plus $BA \neq BC$ : $B$ n’est pas équidistant de $A$ et de $C$.

7. 7

   Par la symétrie d’axe la médiatrice de $[AB]$, un point $M$ de cette médiatrice a pour image le point $M$ lui-même.

   Vrai

   La médiatrice est l’axe de cette symétrie : en pliant la figure le long de cet axe, un point de l’axe reste à sa place.

8. 8

   La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ : si $AB = 8$ cm, elle mesure donc 4 cm.

   Faux

   La médiatrice est une droite illimitée, qui n’a pas de longueur à mesurer ; c’est le milieu de $[AB]$ qui est à 4 cm de $A$.

9. 9

   Le segment $[AB]$ mesure 10 cm et le segment $[CD]$ mesure 6 cm. Si $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[CD]$, alors $IA$ est plus long que $JC$.

   Vrai

   $IA = 10 \div 2 = 5$ cm et $JC = 6 \div 2 = 3$ cm : donc $IA > JC$.

10. 10

    Si $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$, on peut marquer $[MA]$ et $[MB]$ du même nombre de petits traits sur une figure.

    Vrai

    $M$ est équidistant de $A$ et de $B$ : $MA = MB$. Des segments de même longueur reçoivent le même nombre de petits traits.

11. 11

    Sur le segment $[AB]$, le point le plus éloigné de $A$ est le milieu de $[AB]$.

    Faux

    Le point de $[AB]$ le plus éloigné de $A$ est $B$ lui-même ; le milieu n’est qu’à la moitié de $AB$ de $A$.

12. 12

    Si $M$ est un point de la médiatrice de $[AB]$ différent du milieu $I$, la droite $(IM)$ est perpendiculaire à $(AB)$.

    Vrai

    $I$ et $M$ sont deux points de la médiatrice, qui est une droite perpendiculaire à $(AB)$ : la droite $(IM)$ est donc la médiatrice.

13. 13

    Si $M$ est à égale distance de $A$ et de $B$, alors $MA + MB = AB$.

    Faux

    Exemple : si $AB = 6$ cm, deux arcs de rayon 4 cm centrés en $A$ et $B$ se coupent car $4 > 6 \div 2$. Leur intersection $M$ vérifie $MA = MB = 4$ cm, donc $MA + MB = 8$ cm, pas 6.

14. 14

    Si $I$ est le milieu de $[AB]$ avec $AB = 12$ cm, alors le milieu de $[IB]$ est situé à 9 cm de $A$.

    Vrai

    $IB = 12 \div 2 = 6$ cm, donc le milieu de $[IB]$ est à $6 \div 2 = 3$ cm de $I$ ; il est à $6 + 3 = 9$ cm de $A$.

15. 15

    Dans la construction au compas de la médiatrice de $[AB]$, avec une ouverture supérieure à la moitié de $AB$, les deux intersections des arcs sont situées sur le segment $[AB]$.

    Faux

    Les deux intersections sont situées de part et d’autre de $(AB)$ ; elles sont donc hors de $[AB]$. La médiatrice rencontre $[AB]$ seulement en son milieu.