Transformations : symétries et demi-tour

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Sur un quadrillage, l’axe est la diagonale à 45° passant par le point $O$, qui va du bas à gauche vers le haut à droite. Le point situé 2 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de $O$ est son propre symétrique.

   Vrai

   Les déplacements horizontal et vertical sont égaux (2 et 2) : ce point est sur la diagonale, donc il reste à sa place.

2. 2

   Sur un quadrillage, l’axe est vertical. $A$ est situé 2 carreaux à gauche de l’axe, $B$ est situé 3 carreaux à droite de l’axe, à la même hauteur que $A$. Le symétrique $A'$ de $A$ est à 5 carreaux de $B$.

   Faux

   Si $A$ et $B$ sont sur la même ligne horizontale, $A'$ est 2 carreaux à droite de l’axe, du même côté que $B$ : ils sont séparés de $3 - 2 = 1$ carreau.

3. 3

   Sur un quadrillage, par demi-tour de centre $O$, le point situé 2 carreaux à droite et 1 au-dessus de $O$ a pour image le point situé 2 carreaux à gauche et 1 en dessous de $O$.

   Vrai

   Le demi-tour inverse les deux déplacements : 2 carreaux à droite deviennent 2 carreaux à gauche, et 1 carreau au-dessus devient 1 carreau en dessous.

4. 4

   Dans un demi-tour de centre $O$, si $AA' = 10$ cm, alors $OA = 5$ cm.

   Vrai

   $O$ est le milieu de $[AA']$, donc $OA$ est la moitié de $AA'$ : $10 \div 2 = 5$ cm.

5. 5

   Dans un demi-tour de centre $O$, le symétrique $M'$ d’un point $M$ vérifie $OM' = OM$, mais les points $M$, $O$ et $M'$ ne sont pas alignés.

   Faux

   $O$ est le milieu de $[MM']$ : les points $M$, $O$ et $M'$ sont donc alignés.

6. 6

   Un quadrilatère dont les deux diagonales ont la même longueur est un parallélogramme.

   Faux

   Si les diagonales se coupent en leur milieu, le quadrilatère est un parallélogramme : une égalité de longueurs ne suffit pas.

7. 7

   Une droite qui ne passe pas par le centre d’un cercle n’est pas un axe de symétrie de ce cercle.

   Vrai

   Les axes de symétrie d’un cercle passent par son centre : une droite qui n’y passe pas ne peut donc pas être un axe.

8. 8

   Un losange qui n’est pas un carré possède plus d’axes de symétrie qu’un rectangle qui n’est pas un carré.

   Faux

   Le losange et le rectangle qui ne sont pas des carrés ont chacun 2 axes de symétrie.

9. 9

   Un carré possède plus d’axes de symétrie qu’un rectangle qui n’est pas un carré.

   Vrai

   Le carré en possède 4, alors que le rectangle qui n’est pas un carré en possède 2.

10. 10

    Un triangle isocèle qui n’est pas équilatéral possède autant d’axes de symétrie qu’un triangle équilatéral.

    Faux

    Le triangle isocèle non équilatéral a 1 axe de symétrie, alors que le triangle équilatéral en a 3.

11. 11

    Un parallélogramme qui possède un axe de symétrie est un rectangle ou un losange.

    Vrai

    Un parallélogramme qui n’est ni rectangle ni losange n’a pas d’axe de symétrie : un axe impose donc l’une de ces deux formes.

12. 12

    Un hexagone régulier possède autant d’axes de symétrie que de côtés.

    Vrai

    Un hexagone a 6 côtés, et l’hexagone régulier possède 6 axes de symétrie.

13. 13

    Sur un quadrillage, par demi-tour de centre $O$, le point situé 2 carreaux à droite et 1 au-dessus de $O$ a pour image le point situé 2 carreaux à droite et 1 en dessous de $O$.

    Faux

    Le demi-tour inverse les deux déplacements : l’image est à 2 carreaux à gauche et 1 carreau en dessous de $O$.