Pythagore, cosinus et translation en 4e

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Une translation fait glisser une figure sans la tourner ni la retourner.

   Vrai

   La translation fait glisser la figure dans une direction donnée, sans rotation ni retournement.

2. 2

   Dans un triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$, $N$ appartient à $[AC]$ et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. Avec $AM = 3$ cm, $AB = 4$ cm et $AC = 10$ cm, on a $AN = 7{,}5$ cm.

   Vrai

   D'après Thalès, $\frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB}$, donc $AN =$$10 \times \frac{3}{4} =$$7{,}5$ cm.

3. 3

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, avec $AB = 7$ cm et $BC = 25$ cm, on a $AC = \sqrt{674}$ cm.

   Faux

   $BC$ est l'hypoténuse : on soustrait les carrés, $AC^2 = BC^2 - AB^2$, au lieu de les additionner.

4. 4

   Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux est un parallélogramme.

   Vrai

   Les côtés opposés étant parallèles deux à deux, la figure est un parallélogramme par définition.

5. 5

   Un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles est un parallélogramme.

   Faux

   Un seul couple de côtés opposés parallèles ne suffit pas : il en faut deux.

6. 6

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, avec $BC = 25$ cm et $\cos(\widehat{B}) = 0{,}6$, on a $AB = 15$ cm.

   Vrai

   Le côté adjacent vaut hypoténuse × cosinus : $25 \times 0{,}6 = 15$ cm.

7. 7

   Dans un triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, avec $AM = 3$ cm, $AB = 5$ cm, $AN = 4$ cm et $AC = 7$ cm : les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

   Faux

   $\frac{AM}{AB} = 0{,}6$ et $\frac{AN}{AC} \approx 0{,}57$ : les rapports étant différents, $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

8. 8

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, avec $BC = 25$ cm et $\cos(\widehat{B}) = 0{,}6$, on a $AB = \frac{25}{0{,}6}$ cm.

   Faux

   Le côté adjacent s'obtient en multipliant l'hypoténuse par le cosinus : diviser donne une longueur plus grande que $BC$.

9. 9

   Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, avec $AB = 12$ cm et $BC = 37$ cm, on a $AC = 35$ cm.

   Vrai

   $BC$ est l'hypoténuse : $AC^2 =$$37^2 - 12^2 =$$1369 - 144 =$$1225 =$$35^2$.

10. 10

    Dans un parallélogramme $ABCD$, les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont la même longueur.

    Faux

    Les diagonales se coupent en leur milieu, mais leurs longueurs ne sont pas forcément égales.

11. 11

    Un triangle dont les côtés mesurent 20 cm, 21 cm et 29 cm est rectangle.

    Vrai

    $20^2 + 21^2 =$$400 + 441 =$$841 =$$29^2$ : la réciproque de Pythagore s'applique.

12. 12

    Par une translation, l'image d'un angle de 40° est un angle de 60°.

    Faux

    Une translation conserve les mesures des angles : l'image d'un angle de 40° est un angle de 40°.

13. 13

    Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, si $\widehat{C} = 2\widehat{B}$, alors $\widehat{B} = 30^\circ$.

    Vrai

    Les angles aigus sont complémentaires : $\widehat{B} +$$\widehat{C} =$$90^\circ$, donc $3\widehat{B} = 90^\circ$ et $\widehat{B} = 30^\circ$.

14. 14

    Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont supplémentaires : leur somme vaut $180^\circ$.

    Faux

    Ils sont complémentaires : leur somme vaut $90^\circ$, le troisième angle, droit, complétant les $180^\circ$.

15. 15

    Pour un angle aigu d'un triangle rectangle, le cosinus peut valoir $\frac{7}{5}$.

    Faux

    Le cosinus d'un angle aigu est strictement compris entre 0 et 1, car le côté adjacent est plus court que l'hypoténuse.

16. 16

    Si deux triangles sont égaux, chaque angle de l'un a la même mesure que l'angle correspondant de l'autre.

    Vrai

    Deux triangles égaux se superposent exactement : leurs angles et côtés correspondants ont même mesure ou même longueur.