Triangles 5e : idées reçues à démasquer

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Dans un triangle isocèle dont l’angle au sommet mesure 50°, chaque angle à la base mesure 25°.

   Faux

   Les deux angles de la base sont égaux, et les trois angles font $180^\circ$ : $180^\circ-50^\circ=130^\circ$, puis $130^\circ\div 2=65^\circ$ pour chacun.

2. 2

   Dans un triangle, un angle mesure 60° et un autre angle est le double du troisième : le plus petit angle mesure 40°.

   Vrai

   Les deux autres angles ont pour somme $180^\circ-60^\circ=120^\circ$ ; si l’un vaut le double de l’autre, $3\times 40^\circ=120^\circ$, donc le plus petit mesure $40^\circ$.

3. 3

   Dans un triangle rectangle, un angle non droit peut mesurer 95°.

   Faux

   Les deux angles non droits ont pour somme $90^\circ$, car $180^\circ-90^\circ=90^\circ$ : chacun est donc inférieur à $90^\circ$.

4. 4

   Deux triangles qui ont la même base et la même aire ont la même hauteur relative à cette base.

   Vrai

   L’aire vaut $\frac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$ : à base et aire fixées, la hauteur est imposée, égale à $\frac{2\times\text{aire}}{\text{base}}$.

5. 5

   Dans un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 4 cm et 9 cm, l’aire vaut 18 cm², quelle que soit la base choisie parmi ces deux côtés.

   Vrai

   Chaque côté de l’angle droit peut servir de base, l’autre étant alors la hauteur : $\frac{4\times 9}{2}=$$\frac{9\times 4}{2}=$$18$ cm².

6. 6

   Connaître uniquement les longueurs de deux côtés d’un triangle, par exemple 4 cm et 6 cm, suffit à déterminer un unique triangle.

   Faux

   Deux longueurs seules ne fixent pas le triangle : il faut une donnée supplémentaire, par exemple l’angle compris entre ces deux côtés (ou le troisième côté).

7. 7

   Un triangle rectangle a pour hypoténuse 10 cm : le rayon de son cercle circonscrit mesure 5 cm.

   Vrai

   Le cercle circonscrit passe par les sommets, et son centre est le milieu de l’hypoténuse : le rayon vaut la moitié de l’hypoténuse, soit $10\div 2=5$ cm.

8. 8

   Le point de concours des médiatrices d’un triangle est à égale distance de ses trois côtés.

   Faux

   Ce point est le centre du cercle circonscrit : il est à égale distance des trois sommets, et non en général des trois côtés.

9. 9

   Si deux points distincts M et N appartiennent à la médiatrice du segment $[AB]$, alors cette médiatrice est la droite $(MN)$.

   Vrai

   La médiatrice est une droite, perpendiculaire à $[AB]$ et passant par son milieu. Deux points distincts déterminent une seule droite : c’est donc $(MN)$.

10. 10

    Trois angles de 50°, 60° et 75° peuvent être les trois angles d’un même triangle.

    Faux

    Leur somme vaut $50^\circ+60^\circ+75^\circ=$$185^\circ$, alors que les trois angles d’un triangle font $180^\circ$.

11. 11

    Dans un triangle isocèle dont un angle à la base mesure 35°, l’angle au sommet mesure 110°.

    Vrai

    Les deux angles de la base sont égaux, donc valent $2\times 35^\circ=70^\circ$ : l’angle au sommet vaut $180^\circ-70^\circ=110^\circ$.

12. 12

    Dans un triangle rectangle, la hauteur issue du sommet de l’angle droit est l’un des côtés de l’angle droit.

    Faux

    Cette hauteur est perpendiculaire à l’hypoténuse, côté opposé à l’angle droit : ce n’est donc pas un côté de l’angle droit.

13. 13

    Dans un triangle isocèle, la base est forcément le plus grand côté.

    Faux

    Les deux côtés de même longueur peuvent être plus longs que la base : dans un triangle de côtés 5 cm, 5 cm et 3 cm, la base (3 cm) n’est pas le plus grand côté.