Triangles : angles et idées reçues

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Dans un triangle isocèle, si l'angle au sommet mesure le triple de chacun des angles à la base, alors il mesure $108^\circ$.

   Vrai

   Le sommet vaut 3 parts et chaque angle à la base 1 part : 5 parts font $180^\circ$, donc une part vaut $36^\circ$ et le sommet mesure $3 \times 36^\circ = 108^\circ$.

2. 2

   Il existe un triangle dont les angles mesurent $30^\circ$, $60^\circ$ et $100^\circ$.

   Faux

   Leur somme vaut $190^\circ$ et non $180^\circ$ : ce triangle n'existe pas.

3. 3

   Pour construire un triangle dont on connaît un côté et les deux angles adjacents à ce côté, mesurant $45^\circ$ et $75^\circ$, il est inutile de mesurer le troisième angle.

   Vrai

   Le troisième angle se calcule : $180^\circ -$$(45^\circ +$$75^\circ) =$$60^\circ$, il est donc inutile de le mesurer.

4. 4

   Dans un triangle isocèle, si l'angle au sommet est aigu, chacun des angles à la base mesure plus de $45^\circ$.

   Vrai

   Si le sommet est inférieur à $90^\circ$, les deux angles à la base totalisent plus de $90^\circ$ ; étant égaux, chacun dépasse $45^\circ$.

5. 5

   Dans un triangle isocèle, si l'angle au sommet est obtus, chacun des angles à la base mesure plus de $45^\circ$.

   Faux

   Si le sommet dépasse $90^\circ$, les deux angles à la base totalisent moins de $90^\circ$ : chacun est donc inférieur à $45^\circ$.

6. 6

   Dans un triangle, si l'un des angles est égal à la somme des deux autres, cet angle mesure $90^\circ$.

   Vrai

   Les trois angles font $180^\circ$ et cet angle vaut la somme des deux autres : il vaut donc la moitié de $180^\circ$, soit $90^\circ$.

7. 7

   Dans un triangle, si l'un des angles est plus grand que la somme des deux autres, cet angle mesure plus de $100^\circ$.

   Faux

   Il dépasse $90^\circ$, mais pas forcément $100^\circ$ : $91^\circ$, $44^\circ$ et $45^\circ$ font $180^\circ$, et $91^\circ > 44^\circ + 45^\circ$.

8. 8

   Dans un triangle, un angle mesure le double d'un autre et le troisième mesure $60^\circ$ : les deux angles inconnus mesurent $40^\circ$ et $80^\circ$.

   Vrai

   Les deux angles inconnus font $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ : 3 parts valent $120^\circ$, donc une part vaut $40^\circ$ et le double $80^\circ$.

9. 9

   Dans le triangle ABC isocèle en A, si l'angle en A mesure $84^\circ$, l'angle en B mesure $42^\circ$.

   Faux

   Les angles en B et en C sont égaux : chacun vaut $(180^\circ - 84^\circ) \div 2 =$$48^\circ$, et non la moitié de l'angle en A.

10. 10

    Un triangle qui possède deux angles aigus est forcément un triangle rectangle.

    Faux

    Le troisième angle peut aussi être aigu : $50^\circ$, $60^\circ$ et $70^\circ$ font $180^\circ$, sans angle droit.

11. 11

    Un triangle peut avoir un angle de $100^\circ$ et un angle de $70^\circ$.

    Vrai

    Ces deux angles font $170^\circ$, moins que $180^\circ$ : le troisième angle, de $10^\circ$, complète le triangle.

12. 12

    Le centre du cercle circonscrit à un triangle peut coïncider avec l'un des sommets de ce triangle.

    Faux

    Le centre est à la même distance, non nulle, de chaque sommet : il ne peut donc pas être l'un d'eux.

13. 13

    Dans un triangle isocèle, plus l'angle au sommet est petit, plus chacun des angles à la base est grand.

    Vrai

    Les deux angles à la base se partagent $180^\circ$ moins le sommet : si le sommet diminue, leur somme augmente, donc chacun augmente.

14. 14

    Dans un triangle isocèle, l'angle au sommet est plus grand que chacun des angles à la base.

    Faux

    Si le sommet mesure $20^\circ$, chacun des angles à la base mesure $(180^\circ - 20^\circ) \div 2 =$$80^\circ$.