Divisibilité et nombres premiers (4e)

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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1. 1

   Quels sont les diviseurs d'un nombre premier ?

   Réponse C : 1 et lui-même

   Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple, 7 n'a que les diviseurs 1 et 7.

2. 2

   Pourquoi le nombre 1 n'est-il pas un nombre premier ?

   Réponse A : Parce qu'il n'a qu'un seul diviseur, lui-même

   Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts. Le nombre 1 n'en a qu'un, lui-même : il est exclu des nombres premiers.

3. 3

   Parmi les nombres compris entre 50 et 70, lequel est premier ?

   Réponse D : 61

   $51 = 3 \times 17$, $57 = 3 \times 19$ et $63 = 7 \times 9$ : chacun est divisible par 3 ou par 7, donc n'est pas premier.

4. 4

   Dans le crible d'Ératosthène, les multiples de 2 autres que 2 sont déjà barrés. On barre ensuite les multiples de 3 autres que 3 : lequel de ces nombres est alors barré ?

   Réponse B : 33

   $33 = 3 \times 11$ est un multiple de 3, il est donc barré à cette étape. Aucun des trois autres nombres n'est multiple de 3.

5. 5

   Pourquoi peut-on affirmer que 97 est premier ?

   Réponse C : Parce qu'il n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7

   Pour un entier compris entre 8 et 99, il suffit de vérifier qu'il n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7.

6. 6

   Quels peuvent être les chiffres des unités d'un nombre premier strictement supérieur à 5 ?

   Réponse B : 1, 3, 7 ou 9

   Un nombre qui se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 est divisible par 2, et un nombre qui se termine par 5 est divisible par 5 : seuls 1, 3, 7 et 9 restent possibles.

7. 7

   Lequel de ces nombres est un multiple de 12 ?

   Réponse A : 36

   $36 = 12 \times 3$ : c'est un multiple de 12. Le nombre 4 est au contraire un diviseur de 12, car $12 = 4 \times 3$.

8. 8

   Lequel de ces nombres est divisible par 10 ?

   Réponse A : 3480

   Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0 : $3480 = 10 \times 348$. Les autres se terminent par 2, 3 ou 5.

9. 9

   Lequel de ces nombres est divisible par 9 ?

   Réponse D : 5436

   Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres l'est : $5 + 4 + 3 + 6 = 18$, et 18 est divisible par 9.

10. 10

    Le nombre 210 vaut $2 \times 3 \times 5 \times 7$. Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de 210 ?

    Réponse C : 4

    210 ne contient qu'un seul facteur 2 : $210 \div 4 = 52{,}5$ n'est pas un entier. Les trois autres nombres divisent bien 210.

11. 11

    Quelle est la décomposition de 780 en produit de facteurs premiers ?

    Réponse A : $2^2 \times 3 \times 5 \times 13$

    On divise par les plus petits nombres premiers : $780 =$$2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 13$, soit $2^2 \times 3 \times 5 \times 13$. Chaque facteur doit être premier, et 65 ne l'est pas.

12. 12

    Quelle est la décomposition de 72 en produit de facteurs premiers ?

    Réponse D : $2^3 \times 3^2$

    $72 =$$8 \times 9 =$$2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$, soit $2^3 \times 3^2$. Ni 8 ni 9 ne sont premiers : il faut les décomposer.

13. 13

    Quels sont les facteurs premiers de 30 ?

    Réponse B : 2, 3 et 5

    $30 = 2 \times 3 \times 5$ : 2, 3 et 5 sont les seuls nombres premiers qui divisent 30. Les autres diviseurs, comme 6, 10 ou 15, ne sont pas premiers.

14. 14

    Quelle est la forme irréductible de la fraction $\frac{154}{210}$ ?

    Réponse C : $\frac{11}{15}$

    $154 = 2 \times 7 \times 11$ et $210 =$$2 \times 3 \times 5 \times 7$ : on supprime le facteur commun $2 \times 7 = 14$, d'où $\frac{11}{15}$.

15. 15

    Parmi ces fractions, laquelle est irréductible ?

    Réponse D : $\frac{15}{28}$

    $15 = 3 \times 5$ et $28 = 2^2 \times 7$ n'ont aucun facteur premier commun : la fraction $\frac{15}{28}$ ne peut plus se simplifier.

16. 16

    Quelle fraction est égale à $\frac{35}{49}$ ?

    Réponse B : $\frac{5}{7}$

    $35 = 5 \times 7$ et $49 = 7 \times 7$ : en divisant le numérateur et le dénominateur par 7, on obtient $\frac{5}{7}$.

17. 17

    Une recette demande $\frac{18}{24}$ kg de farine. Quelle fraction irréductible représente cette même quantité ?

    Réponse C : $\frac{3}{4}$

    $18 = 2 \times 3 \times 3$ et $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$ : on supprime le facteur commun $2 \times 3 = 6$, d'où $\frac{3}{4}$.

18. 18

    Un fleuriste dispose de 434 roses et de 620 tulipes. Il veut réaliser le plus grand nombre possible de bouquets identiques, en utilisant toutes ses fleurs. Combien de bouquets peut-il faire ?

    Réponse D : 62

    $434 = 2 \times 7 \times 31$ et $620 = 2^2 \times 5 \times 31$ : les facteurs communs donnent $2 \times 31 = 62$ bouquets, chacun avec 7 roses et 10 tulipes.