Repérer l'espace et dessiner les solides

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Un même point d'un pavé droit peut avoir des coordonnées différentes selon le sommet choisi comme origine, et les deux repérages peuvent être justes.

   Vrai

   Les axes gradués partent du sommet choisi comme origine : changer d'origine change les nombres comptés sur les axes, donc les coordonnées, sans qu'il y ait d'erreur.

2. 2

   Pour lire les coordonnées d'un point d'un pavé droit, on peut compter d'abord les graduations de l'axe vertical et noter ce nombre en première position.

   Faux

   Les coordonnées se lisent dans l'ordre : abscisse, ordonnée, altitude. Le nombre compté sur l'axe vertical est l'altitude, qui s'écrit en dernier.

3. 3

   Dans une pyramide régulière à base carrée de côté 3 cm et d'arêtes latérales de 5 cm, chaque face latérale est un triangle isocèle de périmètre 13 cm.

   Vrai

   Les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles superposables : chaque face a des côtés de 3 cm, 5 cm et 5 cm, soit $3 + 5 + 5 = 13$ cm.

4. 4

   Dans un repère du pavé dont l'origine est sur la face au sol, le point de coordonnées (3 ; 2 ; 0) est au sol ; un élève en conclut que son ordonnée vaut 0.

   Faux

   Le point est bien au sol, mais c'est son altitude, troisième nombre, qui vaut 0 : son abscisse est 3 et son ordonnée 2.

5. 5

   Une arête fuyante de 10 cm est dessinée avec un coefficient de réduction de 0,7 : elle mesure 7 cm sur le dessin. Avec un coefficient de 0,5, cette même arête mesurerait 5 cm.

   Vrai

   $10 \times 0{,}7 = 7$ et $10 \times 0{,}5 = 5$ : plus le coefficient de réduction est petit, plus l'arête fuyante est raccourcie sur le dessin.

6. 6

   Une pyramide possède 6 sommets en tout ; un élève en déduit que sa base est un polygone à 5 côtés.

   Vrai

   Le sommet de la pyramide s'ajoute aux sommets de la base : la base a donc $6-1=5$ sommets, donc 5 côtés.

7. 7

   Un pavé de face avant 5 cm sur 3 cm et de fuyantes 8 cm est dessiné en perspective cavalière de coefficient 0,5 : ses fuyantes mesurent 4 cm sur le dessin et sa face avant est réduite à 2,5 cm sur 1,5 cm.

   Faux

   Les arêtes fuyantes sont multipliées par le coefficient ($8 \times 0{,}5 = 4$), mais les faces de face sont dessinées en vraie grandeur : 5 cm sur 3 cm.

8. 8

   Un tétraèdre possède autant de sommets que de faces.

   Vrai

   Le tétraèdre a 4 faces, toutes triangulaires. Ses sommets sont les 3 sommets de la base et le sommet commun : 4 aussi.

9. 9

   Un cône de révolution a une génératrice de 13 cm et une hauteur de 5 cm : un élève en déduit un rayon de base de 8 cm en calculant 13 − 5.

   Faux

   Le théorème de Pythagore donne $\ell^2 = h^2 + r^2$ : $r^2 =$$169 - 25 =$$144$, donc $r = 12$ cm.

10. 10

    Une même pyramide peut avoir plusieurs patrons différents, à condition que chaque figure se plie sans trou ni chevauchement.

    Vrai

    Un patron est défini par le résultat du pliage : plusieurs dispositions des triangles autour de la base peuvent reconstituer exactement la même pyramide.

11. 11

    Une pyramide à base hexagonale possède autant d'arêtes que de faces.

    Faux

    Elle possède 7 faces (6 latérales et la base), mais 12 arêtes : 6 sur la base et 6 latérales.

12. 12

    Dans le cône obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit, le côté fixe devient la hauteur du cône et l'autre côté de l'angle droit engendre le disque de base.

    Vrai

    Le côté autour duquel on tourne porte l'axe du cône : c'est la hauteur. L'autre côté de l'angle droit engendre, en tournant, le disque de base.

13. 13

    Dans le patron d'un cône de révolution de rayon de base 4 cm, l'arc du secteur mesure $4\pi$ cm.

    Faux

    L'arc du secteur égale le périmètre du disque de base : $2\pi \times 4 = 8\pi$ cm, soit environ 25,1 cm.

14. 14

    Avec la même génératrice de 6 cm, le patron d'un cône de rayon $1{,}5$ cm a un secteur d'angle $90^\circ$, et celui d'un cône de rayon $3$ cm un secteur d'angle $180^\circ$.

    Vrai

    L'angle du secteur vaut $\frac{r}{\ell} \times 360^\circ$ : $\frac{1{,}5}{6} \times 360 = 90^\circ$ et $\frac{3}{6} \times 360 = 180^\circ$.

15. 15

    Pour tracer le patron d'un cône de révolution, on peut accoler au disque de base un triangle isocèle dont les côtés égaux mesurent la génératrice : une fois plié, on obtient le même cône.

    Faux

    La face latérale du cône donne un secteur de disque, de rayon la génératrice : un triangle, aux bords droits, ne peut pas se coller au bord rond du disque.

16. 16

    En perspective cavalière avec un plan frontal vertical, le disque de base horizontal d'un cône de révolution est représenté par une ellipse.

    Vrai

    Le cercle de base est horizontal, donc dans un plan distinct du plan frontal vertical ; sa projection cavalière est une ellipse.