Grandeurs, volumes et vitesses (4e)

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Une pyramide à base carrée de côté 20 cm et de hauteur 30 cm a un volume supérieur à celui d'un cube d'arête 15 cm.

   Vrai

   Pyramide : $\frac{1}{3}\times$$20\times$$20\times$$30=$$4\,000$ cm³, soit 4 L ; cube : $15^3=3\,375$ cm³, soit 3,375 L.

2. 2

   Une pompe qui débite 45 L/min verse 900 L en 20 secondes.

   Faux

   45 L/min vaut $\frac{45}{60}=0{,}75$ L/s : en 20 s, elle verse $0{,}75\times 20=15$ L, et non 900 L.

3. 3

   Un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 cm et 4 cm, qui tourne autour du côté de 4 cm, engendre un cône de volume $12\pi\ \mathrm{cm}^3$.

   Vrai

   Le côté de 4 cm est alors la hauteur et le rayon vaut 3 cm : $\frac{1}{3}\times\pi\times 3^2\times 4=$$12\pi$ cm³.

4. 4

   Un avion qui vole à 250 m/s va plus vite qu'un train qui roule à 900 km/h.

   Faux

   $250\times 3{,}6=900$ : 250 m/s équivalent à 900 km/h, les deux vitesses sont égales.

5. 5

   Un cône de révolution dont la base a une aire de $12\ \mathrm{cm}^2$ et dont la hauteur mesure 6 cm a un volume de $24\ \mathrm{cm}^3$.

   Vrai

   $\pi\times r^2$ est l'aire de la base, donc le volume vaut $\frac{1}{3}\times 12\times 6=24$ cm³.

6. 6

   Un cône de rayon 3 cm et de volume $9\pi\ \mathrm{cm}^3$ a une hauteur de 1 cm.

   Faux

   $\frac{1}{3}\times\pi\times 3^2\times h=$$9\pi$ revient à $3\pi h=9\pi$, donc $h=3$ cm.

7. 7

   Un cycliste roule pendant 1 h à 15 km/h, puis pendant 1 h à 45 km/h : sa vitesse moyenne sur ce trajet vaut 30 km/h.

   Vrai

   En 1 h, il parcourt 15 km puis 45 km : 60 km en 2 h, soit $\frac{60}{2}=30$ km/h.

8. 8

   Une boîte de dimensions 2 dm, 5 cm et 10 cm a un volume de $100\ \mathrm{cm}^3$.

   Faux

   2 dm = 20 cm : $20\times 5\times 10=$$1\,000$ cm³, soit 1 dm³ ; il faut convertir avant de multiplier.

9. 9

   Une pompe qui verse $1\ \mathrm{m}^3$ en 10 minutes a un débit égal à la moitié de celui d'une pompe qui verse $1\ \mathrm{m}^3$ en 5 minutes.

   Vrai

   $1\ \mathrm{m}^3=1\,000$ L : le débit vaut $\frac{1\,000}{10}=100$ L/min, contre $\frac{1\,000}{5}=200$ L/min.

10. 10

    Une pyramide dont la base est un hexagone possède 6 faces en tout.

    Faux

    Elle a une face de base et une face latérale triangulaire par côté de la base : $1+6=7$ faces.

11. 11

    Si l'on double le côté de la base carrée d'une pyramide sans changer sa hauteur, son volume double.

    Faux

    L'aire de la base est multipliée par $2^2=4$ : comme $V=\frac{1}{3}\times B\times h$, le volume est aussi multiplié par 4.

12. 12

    Deux cônes ont le même volume : si le rayon du premier est le double de celui du second, sa hauteur vaut le quart de celle du second.

    Vrai

    Le volume est proportionnel à $r^2\times h$ : le rayon double multiplie $r^2$ par 4, donc $h$ doit être divisée par 4.

13. 13

    Un automobiliste parcourt 60 km à 30 km/h, puis 60 km à 60 km/h : sa vitesse moyenne sur les 120 km vaut 45 km/h.

    Faux

    Il roule 2 h puis 1 h : $\frac{120}{3}=40$ km/h, et non 45 km/h.

14. 14

    Un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 cm et 5 cm, qui tourne autour du côté de 3 cm, engendre un cône de volume $12\pi\ \mathrm{cm}^3$.

    Faux

    Autour du côté de 3 cm, la hauteur vaut 3 cm et le rayon 5 cm : $\frac{1}{3}\times\pi\times 5^2\times 3=$$25\pi$ cm³.

15. 15

    Une pyramide à base carrée de côté 6 cm et un cône de rayon 3 cm ont la même hauteur : le cône a un volume plus petit que celui de la pyramide.

    Vrai

    Même hauteur $h$ : pyramide $\frac{1}{3}\times 36\times h$, cône $\frac{1}{3}\times 9\pi\times h$, et $9\pi\approx 28{,}3<36$.