Raisonner sur une dépendance (4e)

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Un carré de côté 6 cm et un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 4 cm ont le même périmètre.

   Vrai

   $4 \times 6 = 24$ et $2 \times (8 + 4) = 24$ : les deux formules donnent bien le même périmètre ici.

2. 2

   Pour $x = 2$, on a $(4x)^2 = 4x^2$, c'est-à-dire 16.

   Faux

   Dans $(4x)^2$, tout le produit est élevé au carré : $(4 \times 2)^2 = 8^2 = 64$. Dans $4x^2$, seul $x$ l'est : $4 \times 4 = 16$.

3. 3

   Un rectangle a pour longueur $2x$ et pour largeur $x$ : son périmètre vaut $6x$, soit 18 cm pour $x = 3$ cm.

   Vrai

   $P =$$2 \times (2x + x) =$$2 \times 3x =$$6x$, puis $6 \times 3 = 18$ cm.

4. 4

   Pour calculer $3x + 1$ quand $x = 4$, on écrit $34 + 1$, ce qui donne 35.

   Faux

   Remplacer $x$ par 4 donne le produit $3 \times 4 = 12$, donc $3 \times 4 + 1 = 13$. Écrire $34$ change le nombre : il faut multiplier.

5. 5

   Dans le rectangle de 20 cm sur 13 cm privé de quatre carrés de côté $x$, pour $x = 1$ cm, l'aire restante vaut 256 cm².

   Vrai

   Pour $x=1$ cm, chaque carré a une aire de $1$ cm². L’aire du rectangle est $20 \times 13 = 260$ cm², donc l’aire restante vaut $260 - 4 \times 1^2 = 256$ cm².

6. 6

   Dans la phrase « la note d'un élève dépend de son temps de révision », le temps de révision est la grandeur dépendante.

   Faux

   La note dépend du temps : la note est la grandeur dépendante ; le temps de révision, qu'on fait varier, est la grandeur variable.

7. 7

   Dans la formule $y = 3x + 1$, la valeur de $y$ associée à $x = 2$ est $3 \times 2 + 1 = 7$.

   Vrai

   On remplace $x$ par 2 dans la formule : $3 \times 2 + 1 = 7$. La formule donne donc $y=7$ pour $x=2$.

8. 8

   Un carré a un périmètre de 20 cm : son aire vaut donc 20 cm².

   Faux

   Le côté vaut $20 \div 4 = 5$ cm, puis l'aire vaut $5^2 = 25$ cm². Aire et périmètre sont deux grandeurs différentes.

9. 9

   Pour tracer la courbe de $y = 3x - 1$, on calcule les images de 0, 1 et 2 : on obtient les points $(0 ; -1)$, $(1 ; 2)$ et $(2 ; 5)$, que l'on place dans un repère.

   Vrai

   $3 \times 0 - 1 = -1$, $3 \times 1 - 1 = 2$, $3 \times 2 - 1 = 5$ : les trois points se placent avec l'abscisse sur l'axe horizontal.

10. 10

    Des objets sont vendus 2,50 € l'unité : deux nombres d'objets différents peuvent donner le même prix total.

    Faux

    Le prix vaut $P = 2{,}5 \times n$. Pour 10 €, on trouve $n = 4$ car $2{,}5 \times 4 = 10$ ; tout autre $n$ donne un autre prix. À chaque $n$ correspond une seule valeur de $P$.

11. 11

    Le point de coordonnées $(-2 ; 5)$ se trouve 2 unités à gauche de l'axe des ordonnées et 5 unités au-dessus de l'axe des abscisses.

    Vrai

    L'abscisse $-2$ est négative : 2 unités à gauche de l'origine ; l'ordonnée $5$ est positive : 5 unités au-dessus. Abscisse en premier, ordonnée ensuite.

12. 12

    Dans un graphique représentant une dépendance, la grandeur variable se lit sur l'axe des ordonnées, l'axe vertical.

    Faux

    C'est l'inverse : la grandeur variable se lit sur l'axe des abscisses, l'axe horizontal, et la grandeur dépendante sur l'axe des ordonnées, l'axe vertical.

13. 13

    Sur le graphique de la température d'un four, pour trouver au bout de combien de temps il atteint 110 °C, on part de 110 sur l'axe des ordonnées, puis on lit le temps sur l'axe horizontal.

    Vrai

    110 est une température : une ordonnée. On part donc de l'axe vertical, on rejoint la courbe horizontalement, puis on lit le temps cherché sur l'axe horizontal.

14. 14

    Pour $y = x^2$, l'image de 2 et l'image de $-2$ valent toutes deux 4 : cette formule ne peut donc pas décrire une dépendance.

    Faux

    $2^2 = (-2)^2 = 4$ : deux valeurs de $x$ peuvent avoir la même image. Une dépendance exige seulement qu'une valeur de $x$ donne une seule valeur de $y$.

15. 15

    Dans le tableau de valeurs de $y = 2x + 1$, la ligne « $x = 3$, $y = 7$ » donne un point à placer avec 3 sur l'axe horizontal et 7 sur l'axe vertical.

    Vrai

    $2 \times 3 + 1 = 7$ : le couple (3 ; 7) est juste. Chaque couple du tableau se place comme un point, abscisse d'abord.

16. 16

    La dépendance $y = 2x + 3$ est une situation de proportionnalité.

    Faux

    Pour $x = 0$, on obtient $y =$$2 \times 0 + 3 =$$3 \neq$$0$ : les points ne passent pas par l'origine du repère, ce qu'exige une proportionnalité.

17. 17

    Pour $y = 2x - 3$, si l'image de 5 est 7, alors 5 est un antécédent de 7.

    Vrai

    $2 \times 5 - 3 = 7$ : 5 donne bien 7. Image et antécédent sont les deux sens d'une même relation.