Racines carrées et puissances de 10

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Pour un nombre $a$ tel que $0<a<1$, $\sqrt{a}$ est plus petit que $a$.

   Faux

   Pour $0<a<1$, la racine est plus grande que le nombre : par exemple $\sqrt{0{,}25}=0{,}5$, car $0{,}5^2=0{,}25$.

2. 2

   Le nombre $\sqrt{20}$ est plus petit que $4{,}5$.

   Vrai

   $4{,}5^2=20{,}25$, qui est plus grand que 20 ; si $20<20{,}25$, alors $\sqrt{20}<\sqrt{20{,}25}=4{,}5$.

3. 3

   Le nombre $(0{,}3)^2$ vaut $0{,}6$.

   Faux

   $(0{,}3)^2=$$0{,}3\times0{,}3=$$0{,}09$ : le carré n’est pas le double, et $\sqrt{0{,}09}=0{,}3$.

4. 4

   Le nombre $\sqrt{90}+1$ est compris entre 10 et 11.

   Vrai

   Comme $81<90<100$, on a $9<\sqrt{90}<10$ ; en ajoutant 1, $10<\sqrt{90}+1<11$.

5. 5

   Multiplier un nombre par $10^{-2}$ revient à le diviser par 10.

   Faux

   $10^{-2}=$$\frac{1}{10^2}=$$\frac{1}{100}$ : multiplier par $10^{-2}$ revient à diviser par 100, soit décaler la virgule de 2 rangs vers la gauche.

6. 6

   Le nombre $\frac{12}{40}$ est plus petit que $\frac{4}{10}$.

   Vrai

   En divisant par 4, $\frac{12}{40}=\frac{3}{10}$, qui s’écrit $0{,}3$ ; comme $\frac{3}{10}$ et $\frac{4}{10}$ ont le même dénominateur et que $3<4$, on conclut.

7. 7

   Le produit $2^5\times5^5$ vaut $10^{10}$.

   Faux

   Les exposants sont égaux : $2^5\times5^5=$$(2\times5)^5=$$10^5$, et non $10^{10}$ ; additionner les exposants n’est valable que pour une même base.

8. 8

   Le nombre $2^2\times2^3\times5^3$ vaut $4\,000$.

   Vrai

   $2^3\times5^3=$$(2\times5)^3=$$10^3$, donc le produit vaut $2^2\times10^3=$$4\times1\,000=$$4\,000$.

9. 9

   Le produit $(4\times$$10^{5})\times$$(2\times$$10^{-3})$ s’écrit $8\times10^{2}$.

   Vrai

   On multiplie séparément les nombres et les puissances de 10 : $4\times2=8$ et $10^5\times10^{-3}=10^{2}$.

10. 10

    Le nombre $-2{,}5\times10^{-1}$ est supérieur à $0{,}03$.

    Faux

    $-2{,}5\times10^{-1}=$$-0{,}25$ : un nombre négatif est inférieur à un nombre positif comme $0{,}03$.

11. 11

    Le nombre $5{,}2\times10^{-2}$ est plus grand que $4{,}8\times10^{-3}$.

    Vrai

    $5{,}2\times10^{-2}=0{,}052$ et $4{,}8\times10^{-3}=$$0{,}0048$ : l’exposant $-2$ est plus grand que $-3$, et le premier nombre est bien plus grand.

12. 12

    Un objet de 250 nanomètres mesure $2{,}5\times10^{-7}$ mètre.

    Vrai

    $250=2{,}5\times10^{2}$ et un nanomètre vaut $10^{-9}$ mètre : $2{,}5\times10^{2}\times10^{-9}=$$2{,}5\times10^{-7}$.

13. 13

    Une distance de 3 500 km s’écrit $3{,}5\times10^{6}$ mètres.

    Vrai

    Un kilomètre vaut $10^{3}$ mètres : $3\,500\times10^{3}=$$3{,}5\times10^{3}\times10^{3}=$$3{,}5\times10^{6}$ mètres.

14. 14

    Une distance de $4{,}6\times10^{4}$ mètres est plus grande que $5\times10^{3}$ kilomètres.

    Faux

    Un kilomètre vaut $10^{3}$ mètres : $5\times10^{3}$ km valent $5\times10^{6}$ m, bien plus que $4{,}6\times10^{4}$ m.

15. 15

    Un gigamètre est mille fois plus grand qu’un mégamètre.

    Vrai

    Un gigamètre vaut $10^{9}$ mètres et un mégamètre $10^{6}$ mètres : le rapport vaut $10^{9}\div10^{6}=10^{3}$, soit 1 000.

16. 16

    Un micromètre est cent fois plus petit qu’un millimètre.

    Faux

    Un millimètre vaut $10^{-3}$ mètre et un micromètre $10^{-6}$ mètre : le rapport vaut $10^{3}$, soit mille fois.

17. 17

    Un objet de 0,3 millimètre a pour ordre de grandeur $10^{-4}$ mètre.

    Vrai

    $0{,}3\times10^{-3}$ mètre, soit $3\times10^{-4}$ mètre : l’ordre de grandeur est donc $10^{-4}$ mètre.

18. 18

    Le carré parfait le plus proche de 130 est 144.

    Faux

    Comme $11^2=$$121<$$130<$$144=$$12^2$, les carrés voisins sont 121 et 144. Leurs écarts à 130 valent 9 et 14 : 121 est le plus proche.