Rapports, aires et volumes transformés

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Si on double l'arête d'un cube, son volume est multiplié par 2.

   Faux

   Doubler l'arête, c'est un agrandissement de rapport 2 : le volume est multiplié par $2^3 = 8$, et non par 2.

2. 2

   Une figure est agrandie de rapport 4, puis son image est réduite de rapport $\frac{1}{4}$ : la figure obtenue a la même aire que la figure initiale.

   Vrai

   L'agrandissement multiplie les aires par $4^2 = 16$, la réduction les multiplie ensuite par $\frac{1}{16}$ : l'aire finale est inchangée.

3. 3

   Après un agrandissement de rapport 10, un triangle a des angles de $40^\circ$, $60^\circ$ et $80^\circ$ : avant l'agrandissement, ses angles pouvaient être de $50^\circ$, $60^\circ$ et $70^\circ$.

   Faux

   Un agrandissement conserve les angles : le triangle initial avait déjà des angles de $40^\circ$, $60^\circ$ et $80^\circ$.

4. 4

   Un carré a une aire de 81 cm². Après réduction, son aire est 9 cm² : le rapport de cette réduction vaut $\frac{1}{3}$.

   Vrai

   Les aires sont multipliées par $k^2$ : ici $k^2 = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$, donc $k = \frac{1}{3}$.

5. 5

   Une figure est translatée, puis agrandie de rapport 3 : le périmètre de la figure finale est multiplié par 9.

   Faux

   La translation conserve les longueurs, donc le périmètre ; seul l'agrandissement le multiplie, par 3 et non par 9.

6. 6

   Une figure réduite au tiers a une aire de 5 cm² : la figure initiale avait une aire de 45 cm².

   Vrai

   Réduire au tiers multiplie les aires par $\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ : l'aire initiale était donc $5 \times 9 = 45~\text{cm}^2$.

7. 7

   Pour agrandir de rapport 3 une figure dessinée sur un quadrillage, on la reproduit sur un quadrillage dont les cases ont une aire trois fois plus grande.

   Faux

   Ce sont les côtés des cases qui sont trois fois plus longs ; l'aire de chaque case est alors multipliée par $3^2 = 9$.

8. 8

   Un cercle de rayon 5 cm est translaté, puis l'image obtenue est réduite de rapport $\frac{1}{2}$ : le cercle final a un rayon de 2,5 cm.

   Vrai

   La translation conserve le rayon (5 cm), puis la réduction le multiplie par $\frac{1}{2}$ : $5 \times \frac{1}{2} = 2{,}5~\text{cm}$.

9. 9

   Trois points A, B et C sont alignés, B étant situé entre A et C. Après une translation, leurs images A', B' et C' sont encore alignées, avec B' entre A' et C'.

   Vrai

   La translation conserve l'alignement : tous les points sont déplacés dans la même direction, dans le même sens et sur la même distance.

10. 10

    Une figure est réduite de rapport $\frac{1}{2}$, puis l'image obtenue est encore réduite de rapport $\frac{1}{2}$ : les longueurs finales valent le quart des longueurs initiales.

    Vrai

    Les rapports se multiplient : $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ; chaque longueur est bien divisée par 4.

11. 11

    L'image d'une figure par une translation peut être retournée par rapport à la figure initiale.

    Faux

    Une translation fait glisser la figure sans la faire tourner et sans la retourner : l'image est superposable à la figure initiale.

12. 12

    Une réduction de rapport 0,5 est une réduction de rapport $\frac{1}{2}$ : les longueurs sont divisées par 2 et les aires par 4.

    Vrai

    $0{,}5 = \frac{1}{2}$ ; les aires sont multipliées par $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$, elles sont donc divisées par 4.

13. 13

    Un solide de volume 108 cm³ est translaté, puis réduit de rapport $\frac{1}{3}$ : le volume du solide final est 36 cm³.

    Faux

    La translation conserve le volume, puis la réduction le multiplie par $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$ : $\frac{108}{27} = 4~\text{cm}^3$, et non 36 cm³.

14. 14

    Un triangle est réduit de rapport $\frac{1}{100}$ : ses angles ne changent pas, mais son périmètre est divisé par 100.

    Vrai

    Une réduction conserve les angles et multiplie les longueurs par $\frac{1}{100}$ : le périmètre, qui est une longueur, est divisé par 100.

15. 15

    Pour construire l'image du point M par la translation qui transforme A en B, on reporte depuis M une longueur égale à AB dans la direction de (AB), quel que soit le sens choisi.

    Faux

    Une translation est définie par une direction, un sens et une longueur : le report se fait dans le sens de A vers B, sinon M' est placé de l'autre côté.