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Géométrie plane (4e) : Pythagore et Thalès

QCM · 17 questions Moyen · Mathématiques · Publié le

Chapitre : Géométrie plane : démontrer (4e) ›

Programme de référence : Attendus de fin d'année en mathématiques de 4e, ressource Éduscol (programme du BO n° 31 du 30 juillet 2020)

Ce chapitre de 4e apprend à utiliser les propriétés de la géométrie plane pour démontrer. Ce quiz reprend ses principaux outils : les cas d’égalité des triangles, le théorème de Thalès et sa réciproque, le théorème de Pythagore et sa réciproque, le cosinus d’un angle dans un triangle rectangle, la translation et les protocoles de construction. Les questions alternent entre calculs à partir de mesures et rappels de propriétés, toujours sans figure : il faut calculer une longueur ou un angle, reconnaître une configuration, ou choisir la bonne étape d’une construction. Une seule réponse est juste à chaque question, et la correction rappelle la règle utilisée.

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Temps 6:00

Géométrie plane (4e) : Pythagore et Thalès

Une seule bonne réponse par question. La correction et l’explication s’affichent aussitôt.

17 questions

Vous n’avez pas encore tenté ce quiz.

  1. Question 1 / 17

    Les triangles ABC et DEF vérifient AB=DE=6AB = DE = 6 cm, BC=EF=7BC = EF = 7 cm et AC=DF=9AC = DF = 9 cm. Que peut-on en conclure ?

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Géométrie plane (4e) : Pythagore et Thalès

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Comment jouer

  • Quatre propositions, une seule bonne réponse.
  • La correction et l’explication s’affichent après chaque réponse.
  • Touches 1 à 4 ou A à D au clavier. Affichage « Une par une » ou « Toutes ».
  • Mode « Libre » : pas de limite de temps, record enregistré à part.

Réponses et explications

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La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

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  1. Les triangles ABC et DEF vérifient AB=DE=6AB = DE = 6 cm, BC=EF=7BC = EF = 7 cm et AC=DF=9AC = DF = 9 cm. Que peut-on en conclure ?

    Réponse C : Ils sont égaux, par le cas côté-côté-côté

    Trois côtés égaux deux à deux suffisent : c’est le cas côté-côté-côté. Le même périmètre ne suffit pas.

  2. Deux triangles ont chacun un côté de 4 cm. Aux deux extrémités de ce côté, les angles mesurent 35° et 80° dans chaque triangle. Peut-on affirmer que les triangles sont égaux ?

    Réponse A : Oui, par le cas angle-côté-angle

    Le côté de 4 cm est situé entre les deux angles de même mesure : c’est le cas angle-côté-angle, donc les triangles sont égaux.

  3. Dans le triangle ABC, le point M appartient à [AB], le point N appartient à [AC] et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AM=4AM = 4 cm, AB=10AB = 10 cm et AC=12,5AC = 12{,}5 cm. Quelle est la longueur ANAN ?

    Réponse D : 5 cm

    D’après Thalès, ANAC=AMAB\frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB}, donc AN=AN =4×12,510=\frac{4 \times 12{,}5}{10} =55 cm.

  4. Le point M appartient à [AB] et le point N appartient à [AC], avec AM=6AM = 6 cm, AB=9AB = 9 cm, AN=8AN = 8 cm et AC=12AC = 12 cm. Que peut-on dire des droites (MN) et (BC) ?

    Réponse B : Elles sont parallèles, car 69=812\frac{6}{9} = \frac{8}{12}

    AMAB=\frac{AM}{AB} =69=\frac{6}{9} =23\frac{2}{3} et ANAC=\frac{AN}{AC} =812=\frac{8}{12} =23\frac{2}{3} : les quotients sont égaux, donc (MN) et (BC) sont parallèles.

  5. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB=8AB = 8 cm et AC=15AC = 15 cm. Quelle est la longueur BCBC ?

    Réponse A : 17 cm

    D’après Pythagore, BC2=BC^2 =AB2+AC2=AB^2 + AC^2 =64+225=64 + 225 =289289, donc BC=289=17BC = \sqrt{289} = 17 cm.

  6. Le triangle DEF est rectangle en D, avec EF=26EF = 26 cm et DE=10DE = 10 cm. Quelle est la longueur DFDF ?

    Réponse C : 24 cm

    D’après Pythagore, DF2=DF^2 =EF2−DE2=EF^2 - DE^2 =676−100=676 - 100 =576576, donc DF=576=24DF = \sqrt{576} = 24 cm.

  7. Un menuisier découpe un triangle RST dont les côtés mesurent RS=42RS = 42 cm, TR=40TR = 40 cm et ST=58ST = 58 cm. Quelle affirmation est exacte ?

    Réponse B : Le triangle est rectangle en R

    582=58^2 =3364=3364 =422+40242^2 + 40^2 : le carré du côté [ST] est égal à la somme des carrés des deux autres, donc le triangle est rectangle en R.

  8. Dans un triangle rectangle, quel est le côté le plus long ?

    Réponse D : Le côté opposé à l’angle droit, appelé hypoténuse

    L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est toujours le plus long côté du triangle rectangle.

  9. Pour calculer une longueur avec le théorème de Pythagore, quelle condition le triangle doit-il remplir ?

    Réponse A : Être rectangle

    Le théorème de Pythagore ne s’applique que dans un triangle rectangle : sans angle droit, la relation entre les carrés des côtés n’est plus valable.

  10. Le triangle ABC est rectangle en A. Quelle est l’expression du cosinus de l’angle B^\widehat{B} ?

    Réponse C : ABBC\frac{AB}{BC}

    Le cosinus est le quotient du côté adjacent à B^\widehat{B} (AB) par l’hypoténuse (BC) : cos⁡(B^)=\cos(\widehat{B}) =ABBC\frac{AB}{BC}.

  11. Le triangle ABC est rectangle en A, avec BC=15BC = 15 cm et cos⁡(B^)=0,8\cos(\widehat{B}) = 0{,}8. Quelle est la longueur ABAB ?

    Réponse B : 12 cm

    On multiplie l’hypoténuse BCBC par le cosinus de B^\widehat{B} : AB=15×0,8=12AB = 15 \times 0{,}8 = 12 cm.

  12. Pour un angle aigu d’un triangle rectangle, lequel de ces nombres peut être la valeur de son cosinus ?

    Réponse C : 0,6

    Le cosinus d’un angle aigu est strictement compris entre 0 et 1 : seul 0,60{,}6 convient.

  13. Une échelle de 13 m est posée contre un mur, son pied se trouvant à 5 m du mur. Quel est, environ, l’angle que fait l’échelle avec le sol ?

    Réponse D : environ 67°

    Avec un côté adjacent de 5 m et une hypoténuse de 13 m, cos⁡=513≈0,38\cos = \frac{5}{13} \approx 0{,}38 ; la touche cos⁡−1\cos^{-1} de la calculatrice donne environ 67°.

  14. Un segment [AB] mesure 4 cm. Par une translation, A devient A′A' et B devient B′B'. Quelle est la longueur A′B′A'B' ?

    Réponse B : 4 cm

    Une translation conserve les longueurs : A′B′=AB=4A'B' = AB = 4 cm, quel que soit son vecteur.

  15. Un angle ABC^\widehat{ABC} mesure 40°. Par une translation, son image est l’angle A′B′C′^\widehat{A'B'C'}. Quelle est sa mesure ?

    Réponse C : 40°

    Une translation conserve les mesures des angles : l’image d’un angle de 40° est un angle de 40°.

  16. Pour construire un triangle ABC avec AB=7AB = 7 cm, AC=5AC = 5 cm et BC=6BC = 6 cm, on trace d’abord le segment [AB]. Quelle est l’étape suivante ?

    Réponse B : Tracer un arc de centre A et de rayon 5 cm, puis un arc de centre B et de rayon 6 cm

    Le point C est à AC=5AC = 5 cm de A et à BC=6BC = 6 cm de B : il est à l’intersection de deux arcs de ces rayons.

  17. ABCD est un parallélogramme avec AB=7AB = 7 cm et BC=4BC = 4 cm. Quel est son périmètre ?

    Réponse D : 22 cm

    Les côtés opposés ont même longueur : CD=AB=7CD = AB = 7 cm et DA=BC=4DA = BC = 4 cm, donc le périmètre vaut 2×(7+4)=222 \times (7 + 4) = 22 cm.

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Géométrie plane (4e) : Pythagore et Thalès

QCM · 17 questions · niveau moyen

Nom : Date :

Une seule bonne réponse par question. Entourez la lettre de votre choix.

Questions

  1. 1

    Les triangles ABC et DEF vérifient AB=DE=6AB = DE = 6 cm, BC=EF=7BC = EF = 7 cm et AC=DF=9AC = DF = 9 cm. Que peut-on en conclure ?

    • AIls ont le même périmètre, donc ils sont égaux
    • BOn ne peut rien conclure sans connaître un angle
    • CIls sont égaux, par le cas côté-côté-côté
    • DIls sont égaux, par le cas côté-angle-côté
  2. 2

    Deux triangles ont chacun un côté de 4 cm. Aux deux extrémités de ce côté, les angles mesurent 35° et 80° dans chaque triangle. Peut-on affirmer que les triangles sont égaux ?

    • AOui, par le cas angle-côté-angle
    • BNon, il manque la longueur d’un deuxième côté
    • COui, par le cas côté-angle-côté
    • DOui, car ils ont un côté de même longueur
  3. 3

    Dans le triangle ABC, le point M appartient à [AB], le point N appartient à [AC] et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AM=4AM = 4 cm, AB=10AB = 10 cm et AC=12,5AC = 12{,}5 cm. Quelle est la longueur ANAN ?

    • A8,5 cm
    • B6,5 cm
    • C31,25 cm
    • D5 cm
  4. 4

    Le point M appartient à [AB] et le point N appartient à [AC], avec AM=6AM = 6 cm, AB=9AB = 9 cm, AN=8AN = 8 cm et AC=12AC = 12 cm. Que peut-on dire des droites (MN) et (BC) ?

    • AElles ne sont pas parallèles, car 9−6≠12−89 - 6 \neq 12 - 8
    • BElles sont parallèles, car 69=812\frac{6}{9} = \frac{8}{12}
    • CElles ne sont pas parallèles, car 68≠912\frac{6}{8} \neq \frac{9}{12}
    • DOn ne peut pas savoir sans connaître la longueur de [MN]
  5. 5

    Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB=8AB = 8 cm et AC=15AC = 15 cm. Quelle est la longueur BCBC ?

    • A17 cm
    • B23 cm
    • C289 cm
    • D7 cm
  6. 6

    Le triangle DEF est rectangle en D, avec EF=26EF = 26 cm et DE=10DE = 10 cm. Quelle est la longueur DFDF ?

    • A16 cm
    • B36 cm
    • C24 cm
    • D576 cm
  7. 7

    Un menuisier découpe un triangle RST dont les côtés mesurent RS=42RS = 42 cm, TR=40TR = 40 cm et ST=58ST = 58 cm. Quelle affirmation est exacte ?

    • ALe triangle est rectangle en S, car RS est son côté le plus long
    • BLe triangle est rectangle en R
    • CLe triangle n’est pas rectangle, car 42+40≠5842 + 40 \neq 58
    • DLe triangle est rectangle en T, car 422=402+58242^2 = 40^2 + 58^2
  8. 8

    Dans un triangle rectangle, quel est le côté le plus long ?

    • AL’un des deux côtés de l’angle droit
    • BLe côté opposé au plus petit angle
    • CLes trois côtés ont la même longueur
    • DLe côté opposé à l’angle droit, appelé hypoténuse
  9. 9

    Pour calculer une longueur avec le théorème de Pythagore, quelle condition le triangle doit-il remplir ?

    • AÊtre rectangle
    • BAvoir deux côtés de même longueur
    • CAvoir un angle de 60°
    • DAvoir tous ses côtés de longueurs entières
  10. 10

    Le triangle ABC est rectangle en A. Quelle est l’expression du cosinus de l’angle B^\widehat{B} ?

    • AACBC\frac{AC}{BC}
    • BABAC\frac{AB}{AC}
    • CABBC\frac{AB}{BC}
    • DBCAB\frac{BC}{AB}
  11. 11

    Le triangle ABC est rectangle en A, avec BC=15BC = 15 cm et cos⁡(B^)=0,8\cos(\widehat{B}) = 0{,}8. Quelle est la longueur ABAB ?

    • A18,75 cm
    • B12 cm
    • C9 cm
    • D15 cm
  12. 12

    Pour un angle aigu d’un triangle rectangle, lequel de ces nombres peut être la valeur de son cosinus ?

    • A1,25
    • B−0,6
    • C0,6
    • D53\frac{5}{3}
  13. 13

    Une échelle de 13 m est posée contre un mur, son pied se trouvant à 5 m du mur. Quel est, environ, l’angle que fait l’échelle avec le sol ?

    • Aenviron 23°
    • Benviron 38°
    • Cenviron 12°
    • Denviron 67°
  14. 14

    Un segment [AB] mesure 4 cm. Par une translation, A devient A′A' et B devient B′B'. Quelle est la longueur A′B′A'B' ?

    • A8 cm
    • B4 cm
    • C2 cm
    • DCela dépend du vecteur de la translation
  15. 15

    Un angle ABC^\widehat{ABC} mesure 40°. Par une translation, son image est l’angle A′B′C′^\widehat{A'B'C'}. Quelle est sa mesure ?

    • A140°
    • B50°
    • C40°
    • D90°
  16. 16

    Pour construire un triangle ABC avec AB=7AB = 7 cm, AC=5AC = 5 cm et BC=6BC = 6 cm, on trace d’abord le segment [AB]. Quelle est l’étape suivante ?

    • ATracer un arc de centre A et de rayon 6 cm, puis un arc de centre B et de rayon 5 cm
    • BTracer un arc de centre A et de rayon 5 cm, puis un arc de centre B et de rayon 6 cm
    • CTracer un arc de centre A et de rayon 7 cm, puis un arc de centre B et de rayon 6 cm
    • DTracer la médiatrice du segment [AB]
  17. 17

    ABCD est un parallélogramme avec AB=7AB = 7 cm et BC=4BC = 4 cm. Quel est son périmètre ?

    • A11 cm
    • B14 cm
    • C28 cm
    • D22 cm

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Corrigé et explications

Géométrie plane (4e) : Pythagore et Thalès

La bonne réponse de chaque question, avec son explication.

  1. 1

    C · Ils sont égaux, par le cas côté-côté-côté

    Trois côtés égaux deux à deux suffisent : c’est le cas côté-côté-côté. Le même périmètre ne suffit pas.

  2. 2

    A · Oui, par le cas angle-côté-angle

    Le côté de 4 cm est situé entre les deux angles de même mesure : c’est le cas angle-côté-angle, donc les triangles sont égaux.

  3. 3

    D · 5 cm

    D’après Thalès, ANAC=AMAB\frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB}, donc AN=AN =4×12,510=\frac{4 \times 12{,}5}{10} =55 cm.

  4. 4

    B · Elles sont parallèles, car 69=812\frac{6}{9} = \frac{8}{12}

    AMAB=\frac{AM}{AB} =69=\frac{6}{9} =23\frac{2}{3} et ANAC=\frac{AN}{AC} =812=\frac{8}{12} =23\frac{2}{3} : les quotients sont égaux, donc (MN) et (BC) sont parallèles.

  5. 5

    A · 17 cm

    D’après Pythagore, BC2=BC^2 =AB2+AC2=AB^2 + AC^2 =64+225=64 + 225 =289289, donc BC=289=17BC = \sqrt{289} = 17 cm.

  6. 6

    C · 24 cm

    D’après Pythagore, DF2=DF^2 =EF2−DE2=EF^2 - DE^2 =676−100=676 - 100 =576576, donc DF=576=24DF = \sqrt{576} = 24 cm.

  7. 7

    B · Le triangle est rectangle en R

    582=58^2 =3364=3364 =422+40242^2 + 40^2 : le carré du côté [ST] est égal à la somme des carrés des deux autres, donc le triangle est rectangle en R.

  8. 8

    D · Le côté opposé à l’angle droit, appelé hypoténuse

    L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est toujours le plus long côté du triangle rectangle.

  9. 9

    A · Être rectangle

    Le théorème de Pythagore ne s’applique que dans un triangle rectangle : sans angle droit, la relation entre les carrés des côtés n’est plus valable.

  10. 10

    C · ABBC\frac{AB}{BC}

    Le cosinus est le quotient du côté adjacent à B^\widehat{B} (AB) par l’hypoténuse (BC) : cos⁡(B^)=\cos(\widehat{B}) =ABBC\frac{AB}{BC}.

  11. 11

    B · 12 cm

    On multiplie l’hypoténuse BCBC par le cosinus de B^\widehat{B} : AB=15×0,8=12AB = 15 \times 0{,}8 = 12 cm.

  12. 12

    C · 0,6

    Le cosinus d’un angle aigu est strictement compris entre 0 et 1 : seul 0,60{,}6 convient.

  13. 13

    D · environ 67°

    Avec un côté adjacent de 5 m et une hypoténuse de 13 m, cos⁡=513≈0,38\cos = \frac{5}{13} \approx 0{,}38 ; la touche cos⁡−1\cos^{-1} de la calculatrice donne environ 67°.

  14. 14

    B · 4 cm

    Une translation conserve les longueurs : A′B′=AB=4A'B' = AB = 4 cm, quel que soit son vecteur.

  15. 15

    C · 40°

    Une translation conserve les mesures des angles : l’image d’un angle de 40° est un angle de 40°.

  16. 16

    B · Tracer un arc de centre A et de rayon 5 cm, puis un arc de centre B et de rayon 6 cm

    Le point C est à AC=5AC = 5 cm de A et à BC=6BC = 6 cm de B : il est à l’intersection de deux arcs de ces rayons.

  17. 17

    D · 22 cm

    Les côtés opposés ont même longueur : CD=AB=7CD = AB = 7 cm et DA=BC=4DA = BC = 4 cm, donc le périmètre vaut 2×(7+4)=222 \times (7 + 4) = 22 cm.

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