Symétries et demi-tour : raisonner

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Appliquer deux fois de suite la même symétrie axiale ramène chaque point à sa position de départ.

   Vrai

   Le symétrique du symétrique de $M$ par la même symétrie est $M$ lui-même : les deux applications successives se compensent.

2. 2

   Les côtés correspondants d’un triangle et de son symétrique par rapport à un axe ont des longueurs différentes.

   Faux

   Une symétrie axiale conserve les longueurs : chaque côté image a la même longueur que le côté correspondant du triangle initial.

3. 3

   Un point $M$ situé à 3 cm de l'axe $d$ et son symétrique $M'$ sont à 6 cm l'un de l'autre.

   Vrai

   Le segment $[MM']$ est perpendiculaire à $d$, et $M$ et $M'$ sont à 3 cm de $d$, de part et d'autre : $MM' = 3 + 3 = 6$ cm.

4. 4

   Si la droite $(AB)$ est perpendiculaire à l'axe $d$, le segment $[AB]$ a pour symétrique lui-même.

   Faux

   Son image reste sur la même droite, mais elle ne coïncide avec $[AB]$ que si $d$ est la médiatrice de $[AB]$ (les extrémités sont alors échangées).

5. 5

   La droite $(AB)$ est un axe de symétrie du segment $[AB]$.

   Vrai

   Les points $A$ et $B$ sont sur la droite $(AB)$ : ils restent à leur place, donc le segment se superpose à lui-même.

6. 6

   Par une symétrie axiale, deux droites perpendiculaires ont pour images deux droites perpendiculaires.

   Vrai

   Une symétrie axiale conserve les angles : un angle droit a pour image un angle droit, donc les droites images restent perpendiculaires.

7. 7

   Un carré et un losange qui n’est pas un carré ont le même nombre d’axes de symétrie.

   Faux

   Le carré a 4 axes de symétrie, contre 2 pour un losange qui n'est pas un carré : il possède donc deux axes de plus.

8. 8

   Un parallélogramme qui n'est ni rectangle ni losange possède deux axes de symétrie : ses diagonales.

   Faux

   Un parallélogramme qui n'est ni rectangle ni losange n'a aucun axe de symétrie ; il possède en revanche un centre de symétrie, le point d'intersection de ses diagonales.

9. 9

   Une figure qui possède au moins deux axes de symétrie possède aussi un centre de symétrie.

   Faux

   Le triangle équilatéral a 3 axes de symétrie, mais il n'a pas de centre de symétrie.

10. 10

    Une symétrie axiale dont l'axe passe par le point $O$ donne la même image qu'un demi-tour de centre $O$.

    Faux

    Si $M$ appartient à l’axe et $M\ne O$, la symétrie axiale laisse $M$ fixe, tandis que le demi-tour l’envoie au point opposé par rapport à $O$ : les images diffèrent.

11. 11

    Dans un hexagone régulier de centre $O$, le symétrique par demi-tour de centre $O$ d'un sommet est le sommet situé de l'autre côté de $O$, à la même distance de $O$ que lui.

    Vrai

    L'hexagone reste invariant par demi-tour autour de son centre : l'image d'un sommet est donc un sommet, à la même distance de $O$ que lui.

12. 12

    Un cercle ne possède qu’un seul axe de symétrie et une infinité de centres de symétrie.

    Faux

    Un cercle a une infinité d’axes de symétrie (tous ses diamètres), mais un seul centre de symétrie : son centre $O$.