Triangles 5e : médiatrices, angles et aires

Chaque affirmation, vraie ou fausse, avec son explication.

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1. 1

   Un triangle isocèle a deux angles de 70° à la base : son troisième angle mesure 40°.

   Vrai

   Les deux angles à la base valent $70^\circ+70^\circ=140^\circ$ ; le troisième mesure $180^\circ-140^\circ=40^\circ$.

2. 2

   Un triangle dont les trois angles ont la même mesure a ses trois côtés de même longueur.

   Vrai

   Chaque angle mesure $180^\circ\div3=60^\circ$ : c'est un triangle équilatéral, qui a trois côtés de même longueur.

3. 3

   Dans un triangle, si deux angles mesurent 55° et 45°, alors le troisième mesure 100°.

   Faux

   La somme des trois angles vaut $180^\circ$ : le troisième mesure $180^\circ-55^\circ-45^\circ=$$80^\circ$, et non la somme des deux autres.

4. 4

   Sur un schéma codé de triangle isocèle, un seul angle à la base est codé : on en déduit le second par symétrie.

   Vrai

   Dans un triangle isocèle, les deux angles situés à la base ont la même mesure : le codage d'un seul suffit pour connaître l'autre.

5. 5

   Dans un triangle rectangle, si un angle aigu mesure 35°, l'autre angle aigu mesure 145°.

   Faux

   Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : $90^\circ-35^\circ=55^\circ$. Avec 145°, la somme des angles dépasserait $180^\circ$.

6. 6

   Le centre du cercle circonscrit à un triangle est à la même distance de ses trois sommets.

   Vrai

   Ce centre est situé sur les trois médiatrices, et tout point d'une médiatrice est à égale distance des deux extrémités du côté.

7. 7

   On peut construire un triangle à partir d'une longueur et de deux angles adjacents au côté connu, si leur somme est inférieure à $180^\circ$.

   Vrai

   On trace le côté de longueur donnée, puis les deux angles à ses extrémités. Si leur somme est inférieure à $180^\circ$, les deux autres côtés se coupent au troisième sommet.

8. 8

   L'hypoténuse d'un triangle rectangle est son plus petit côté.

   Faux

   L'hypoténuse, côté opposé à l'angle droit, est au contraire le plus grand côté du triangle rectangle.

9. 9

   Un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie.

   Vrai

   Chacun de ses axes passe par un sommet et le milieu du côté opposé : c'est la hauteur, qui est aussi la médiane, la médiatrice et la bissectrice issues de ce sommet.

10. 10

    Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de concours de ses médianes.

    Faux

    Le centre du cercle circonscrit est le point de concours des médiatrices ; celui des médianes est le centre de gravité.

11. 11

    Un triangle de base 10 cm et de hauteur 6 cm a la même aire qu'un triangle de base 20 cm et de hauteur 3 cm.

    Vrai

    Les deux aires valent $\frac{10\times6}{2}=$$30\ \mathrm{cm}^2$ et $\frac{20\times3}{2}=$$30\ \mathrm{cm}^2$ : doubler la base et diviser la hauteur par 2 laisse l'aire inchangée.

12. 12

    Un triangle rectangle a deux côtés de l'angle droit de 6 cm et 8 cm : son aire mesure 48 cm².

    Faux

    Les côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur : $\frac{6\times8}{2}=24\ \mathrm{cm}^2$. L'erreur classique est d'oublier de diviser par 2.

13. 13

    Dans un triangle, les trois hauteurs ne se coupent pas en un même point.

    Faux

    Au contraire, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre.